Вероятность показывает возможность того или иного события при определенном количестве повторений. Это число возможных результатов с одним или несколькими исходами, поделенное на общее количество возможных событий. Вероятность нескольких событий вычисляется путем разделения задачи на отдельные вероятности с последующим перемножением этих вероятностей.

Шаги

Вероятность единичного случайного события

1. Выберите событие со взаимоисключающими результатами. Вероятность можно рассчитать лишь в том случае, если рассматриваемое событие либо происходит, либо не происходит. Нельзя одновременно получить какое-либо событие и противоположный ему результат. Примером таких событий служат выпадение 5 на игровом кубике или победа определенной лошади на скачках. Пять либо выпадет, либо нет; определенная лошадь либо придет первой, либо нет.

   • Например, невозможно вычислить вероятность такого события: при одном броске кубика выпадут 5 и 6 одновременно.

2. Определите все возможные события и результаты, которые могут произойти. Предположим, необходимо определить вероятность того, что при броске игрового кубика с 6 цифрами выпадет тройка. «Выпадение тройки» является событием, и поскольку мы знаем, что может выпасть любая из 6 цифр, число возможных исходов равно шести. Таким образом, мы знаем, что в данном случае есть 6 возможных результатов и одно событие, вероятность которого мы хотим определить. Ниже приведено еще два примера.

   • Пример 1 . В данном случае событием является «выбор дня, который приходится на выходные», а число возможных исходов равно количеству дней недели, то есть семи.
   • Пример 2 . Событием является «вынуть красный шар», а число возможных исходов равно общему количеству шаров, то есть двадцати.

3. Поделите число событий на количество возможных исходов. Таким образом вы определите вероятность одиночного события. Если мы рассматриваем случай выпадения 3 при бросании кубика, число событий равно 1 (тройка находится лишь на одной грани кубика), а общее количество исходов равно 6. В результате получаем соотношение 1/6, 0,166, или 16,6 %. Вероятность события для двух приведенных выше примеров находится следующим образом:

   • Пример 1 . Какова вероятность того, что вы случайно выберете день, который выпадает на выходные? Число событий равно 2, так как в одной неделе два выходных дня, а общее количество исходов составляет 7. Таким образом, вероятность равна 2/7. Полученный результат можно записать также как 0,285 или 28,5 %.
   • Пример 2 . В коробке находятся 4 синих, 5 красных и 11 белых шаров. Если достать из коробки случайный шар, какова вероятность того, что он окажется красным? Число событий равно 5, поскольку в коробке 5 красных шаров, а общее количество исходов составляет 20. Находим вероятность: 5/20 = 1/4. Полученный результат можно записать также как 0,25 или 25 %.

4. Сложите вероятности всех возможных событий и проверьте, получится ли в сумме 1. Суммарная вероятность всех возможных событий должна составлять 1, или 100 %. Если у вас не получится 100 %, скорее всего, вы допустили ошибку и пропустили одно или несколько возможных событий. Проверьте свои вычисления и убедитесь, что вы учли все возможные исходы.

   • Например, вероятность выпадения 3 при бросании игрового кубика составляет 1/6. При этом вероятность выпадения любой другой цифры из пяти оставшихся также равна 1/6. В результате получаем 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, то есть 100 %.
   • Если вы, например, забудете о цифре 4 на кубике, сложение вероятностей даст вам лишь 5/6, или 83 %, что не равно единице и указывает на ошибку.

5. Представьте вероятность невозможного исхода в виде 0. Это означает, что данное событие не может произойти, и его вероятность равна 0. Таким образом вы сможете учесть невозможные события.

   • Например, если бы вы вычисляли вероятность того, что в 2020 году Пасха придется на понедельник, то получили бы 0, поскольку Пасха всегда празднуется в воскресенье.

   Вероятность нескольких случайных событий

   1. При рассмотрении независимых событий вычисляйте каждую вероятность отдельно. После того как вы определите, каковы вероятности событий, их можно будет рассчитать отдельно. Предположим, необходимо узнать вероятность того, что при бросании кубика два раза подряд выпадет 5. Мы знаем, что вероятность выпадения одной пятерки составляет 1/6, и вероятность выпадения второй пятерки также равна 1/6. Первый исход не связан со вторым.

      • Несколько выпадений пятерок называются независимыми событиями , поскольку то, что выпадет первый раз, не влияет на второе событие.

   2. Учитывайте влияние предыдущих исходов при расчете вероятности для зависимых событий. Если первое событие влияет на вероятность второго исхода, говорят о расчете вероятности зависимых событий . Например, если вы выбираете две карты из колоды, состоящей из 52 карт, после взятия первой карты состав колоды изменяется, что влияет на выбор второй карты. Чтобы рассчитать вероятность второго из двух зависимых событий, необходимо вычесть 1 из количества возможных результатов при расчете вероятности второго события.

      • Пример 1 . Рассмотрим следующее событие: Из колоды случайным образом одну за другой вытягивают две карты. Какова вероятность того, что обе карты будут иметь трефовую масть? Вероятность того, что первая карта будет иметь трефовую масть, составляет 13/52, или 1/4, поскольку всего в колоде 13 карт одной масти.
        • После этого вероятность того, что вторая карта окажется трефовой масти, составляет 12/51, поскольку одной трефовой карты уже нет. Это объясняется тем, что первое событие влияет на второе. Если вы вытянули тройку треф и не положили ее обратно, в колоде будет на одну карту меньше (51 вместо 52).
      • Пример 2 . В коробке 4 синих, 5 красных и 11 белых шаров. Если наугад вынуть три шара, какова вероятность того, что первый окажется красным, второй синим, а третий белым?
        • Вероятность того, что первый шар окажется красным, составляет 5/20, или 1/4. Вероятность того, что второй шар будет синим, равна 4/19, поскольку в коробке осталось на один шар меньше, но по прежнему 4 синих шара. Наконец, вероятность того, что третий шар окажется белым, составляет 11/18, так как мы уже вынули два шара.

   3. Перемножьте вероятности каждого отдельного события. Независимо от того, имеете ли вы дело с независимыми или зависимыми событиями, а также количества исходов (их может быть 2, 3 и даже 10), можно рассчитать общую вероятность, умножив вероятности всех рассматриваемых событий друг на друга. В результате вы получите вероятность нескольких событий, следующих одно за другим . Например, стоит задача Найти вероятность того, что при бросании кубика два раза подряд выпадет 5 . Это два независимых события, вероятность каждого из которых равна 1/6. Таким образом, вероятность обоих событий составляет 1/6 x 1/6 = 1/36, то есть 0,027, или 2,7 %.

      • Пример 1 . Из колоды наугад одну за другой вытягивают две карты. Какова вероятность того, что обе карты будут иметь трефовую масть? Вероятность первого события составляет 13/52. Вероятность второго события равна 12/51. Находим общую вероятность: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, то есть 0,058, или 5,8 %.
      • Пример 2 . В коробке находятся 4 синих, 5 красных и 11 белых шаров. Если наугад вытянуть из коробки три шара один за другим, какова вероятность того, что первый окажется красным, второй синим, а третий белым? Вероятность первого события составляет 5/20. Вероятность второго события равна 4/19. Вероятность третьего события составляет 11/18. Таким образом, общая вероятность равна 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032, или 3,2 %.

Задачи на классическое определение вероятности.
Примеры решений

На третьем уроке мы рассмотрим различные задачи, касающиеся непосредственного применения классического определения вероятности. Для эффективного изучения материалов данной статьи рекомендую ознакомиться с базовыми понятиями теории вероятностей и основами комбинаторики . Задача на классическое определение вероятности с вероятностью, стремящейся к единице, будет присутствовать в вашей самостоятельной/контрольной работе по терверу, поэтому настраиваемся на серьёзную работу. Вы спросите, чего тут серьёзного? …всего-то одна примитивная формула . Предостерегаю от легкомыслия – тематические задания достаточно разнообразны, и многие из них запросто могут поставить в тупик. В этой связи помимо проработки основного урока, постарайтесь изучить дополнительные задачи по теме, которые находятся в копилке готовых решений по высшей математике . Приёмы решения приёмами решения, а «друзей» всё-таки «надо знать в лицо», ибо даже богатая фантазия ограничена и типовых задач тоже хватает. Ну а я постараюсь в хорошем качестве разобрать максимальное их количество.

Вспоминаем классику жанра:

Вероятность наступления события в некотором испытании равна отношению , где:

– общее число всех равновозможных , элементарных исходов данного испытания, которые образуют полную группу событий ;

– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .

И сразу незамедлительный пит-стоп. Понятны ли вам подчёркнутые термины? Имеется ввиду чёткое, а не интуитивное понимание. Если нет, то всё-таки лучше вернуться к 1-й статье по теории вероятностей и только после этого ехать дальше.

Пожалуйста, не пропускайте первые примеры – в них я повторю один принципиально важный момент, а также расскажу, как правильно оформлять решение и какими способами это можно сделать:

Задача 1

В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.

Решение : важнейшей предпосылкой для использования классического определения вероятности является возможность подсчёта общего количества исходов .

Всего в урне: 15 + 5 + 10 = 30 шаров, и, очевидно, справедливы следующие факты:

– извлечение любого шара одинаково возможно (равновозможность исходов) , при этом исходы элементарны и образуют полную группу событий (т.е. в результате испытания обязательно будет извлечён какой-то один из 30 шаров) .

Таким образом, общее число исходов:

Рассмотрим событие: – из урны будет извлечён белый шар. Данному событию благоприятствуют элементарных исходов, поэтому по классическому определению:
– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар.

Как ни странно, даже в такой простой задаче можно допустить серьёзную неточность, на которой я уже заострял внимание в первой статье по теории вероятностей . Где здесь подводный камень? Здесь некорректно рассуждать, что «раз половина шаров белые, то вероятность извлечения белого шара » . В классическом определении вероятности речь идёт об ЭЛЕМЕНТАРНЫХ исходах, и дробь следует обязательно прописать!

С другими пунктами аналогично, рассмотрим следующие события:

– из урны будет извлечён красный шар;
– из урны будет извлечён чёрный шар.

Событию благоприятствует 5 элементарных исходов, а событию – 10 элементарных исходов. Таким образом, соответствующие вероятности:

Типичная проверка многих задач по терверу осуществляется с помощью теоремы о сумме вероятностей событий, образующих полную группу . В нашем случае события образуют полную группу, а значит, сумма соответствующих вероятностей должна обязательно равняться единице: .

Проверим, так ли это: , в чём и хотелось убедиться.

Ответ :

В принципе, ответ можно записать и подробнее, но лично я привык ставить туда только числа – по той причине, что когда начинаешь «штамповать» задачи сотнями и тысячами, то стремишься максимально сократить запись решения. К слову, о краткости: на практике распространён «скоростной» вариант оформления решения :

Всего: 15 + 5 + 10 = 30 шаров в урне. По классическому определению:
– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар;
– вероятность того, то из урны будет извлечён красный шар;
– вероятность того, то из урны будет извлечён чёрный шар.

Ответ :

Однако если в условии несколько пунктов, то решение зачастую удобнее оформить первым способом, который отнимает чуть больше времени, но зато всё «раскладывает по полочкам» и позволяет легче сориентироваться в задаче.

Разминаемся:

Задача 2

В магазин поступило 30 холодильников, пять из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?

Выберите целесообразный вариант оформления и сверьтесь с образцом внизу страницы.

В простейших примерах количество общих и количество благоприятствующих исходов лежат на поверхности, но в большинстве случаев картошку приходится выкапывать самостоятельно. Каноничная серия задач о забывчивом абоненте:

Задача 3

Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит, что одна из них – ноль, а другая – нечётная. Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер.

Примечание : ноль – это чётное число (делится на 2 без остатка)

Решение : сначала найдём общее количество исходов. По условию, абонент помнит, что одна из цифр – ноль, а другая цифра – нечётная. Здесь рациональнее не мудрить с комбинаторикой и воспользоваться методом прямого перечисления исходов . То есть, при оформлении решения просто записываем все комбинации:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

И подсчитываем их – всего: 10 исходов.

Благоприятствующий исход один: верный номер.

По классическому определению:
– вероятность того, что абонент наберёт правильный номер

Ответ : 0,1

Десятичные дроби в теории вероятностей смотрятся вполне уместно, но можно придерживаться и традиционного вышматовского стиля, оперируя только обыкновенными дробями.

Продвинутая задача для самостоятельного решения:

Задача 4

Абонент забыл пин-код к своей сим-карте, однако помнит, что он содержит три «пятёрки», а одна из цифр – то ли «семёрка», то ли «восьмёрка». Какова вероятность успешной авторизации с первой попытки?

Здесь ещё можно развить мысль о вероятности того, что абонента ждёт кара в виде пук-кода, но, к сожалению, рассуждения уже выйдут за рамки данного урока

Решение и ответ внизу.

Иногда перечисление комбинаций оказывается весьма кропотливым занятием. В частности, так обстоят дела в следующей, не менее популярной группе задач, где подкидываются 2 игральных кубика (реже – бОльшее количество) :

Задача 5

Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет:

а) пять очков;
б) не более четырёх очков;
в) от 3 до 9 очков включительно.

Решение : найдём общее количество исходов:

Способами может выпасть грань 1-го кубика и способами может выпасть грань 2-го кубика; по правилу умножения комбинаций , всего: возможных комбинаций. Иными словами, каждая грань 1-го кубика может составить упорядоченную пару с каждой гранью 2-го кубика. Условимся записывать такую пару в виде , где – цифра, выпавшая на 1-м кубике, – цифра, выпавшая на 2-м кубике. Например:

– на первом кубике выпало 3 очка, на втором – 5 очков, сумма очков: 3 + 5 = 8;
– на первом кубике выпало 6 очков, на втором – 1 очко, сумма очков: 6 + 1 = 7;
– на обеих костях выпало 2 очка, сумма: 2 + 2 = 4.

Очевидно, что наименьшую сумму даёт пара , а наибольшую – две «шестёрки».

а) Рассмотрим событие: – при бросании двух игральных костей выпадет 5 очков. Запишем и подсчитаем количество исходов, которые благоприятствуют данному событию:

Итого: 4 благоприятствующих исхода. По классическому определению:
– искомая вероятность.

б) Рассмотрим событие: – выпадет не более 4 очков. То есть, либо 2, либо 3, либо 4 очка. Снова перечисляем и подсчитываем благоприятствующие комбинации, слева я буду записывать суммарное количество очков, а после двоеточия – подходящие пары:

Итого: 6 благоприятствующих комбинаций. Таким образом:
– вероятность того, что выпадет не более 4 очков.

в) Рассмотрим событие: – выпадет от 3 до 9 очков включительно. Здесь можно пойти прямой дорогой, но… что-то не хочется. Да, некоторые пары уже перечислены в предыдущих пунктах, но работы все равно предстоит многовато.

Как лучше поступить? В подобных случаях рациональным оказывается окольный путь. Рассмотрим противоположное событие : – выпадет 2 или 10 или 11 или 12 очков.

В чём смысл? Противоположному событию благоприятствует значительно меньшее количество пар:

Итого: 7 благоприятствующих исходов.

По классическому определению:
– вероятность того, что выпадет меньше трёх или больше 9 очков.

Помимо прямого перечисления и подсчёта исходов, в ходу также различные комбинаторные формулы . И снова эпичная задача про лифт:

Задача 7

В лифт 20-этажного дома на первом этаже зашли 3 человека. И поехали. Найти вероятность того, что:

а) они выйдут на разных этажах
б) двое выйдут на одном этаже;
в) все выйдут на одном этаже.

Наше увлекательное занятие подошло к концу, и напоследок ещё раз настоятельно рекомендую если не прорешать, то хотя бы разобраться в дополнительных задачах на классическое определение вероятности . Как я уже отмечал, «набивка руки» тоже имеет значение!

Далее по курсу – Геометрическое определение вероятности и Теоремы сложения и умножения вероятностей и… везения в главном!

Решения и ответы :

Задача 2: Решение : 30 – 5 = 25 холодильников не имеют дефекта.

– вероятность того, что наугад выбранный холодильник не имеет дефекта.
Ответ :

Задача 4: Решение : найдём общее число исходов:
способами можно выбрать место, на котором расположена сомнительная цифра и на каждом из этих 4 мест могут располагаться 2 цифры (семёрка или восьмёрка). По правилу умножения комбинаций, общее число исходов: .
Как вариант, в решении можно просто перечислить все исходы (благо их немного):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Благоприятствующий исход один (правильный пин-код).
Таким образом, по классическому определению:
– вероятность того, что абонент авторизируется с 1-й попытки
Ответ :

Задача 6: Решение : найдём общее количество исходов:
способами могут выпасть цифры на 2 кубиках.

а) Рассмотрим событие: – при броске двух игральных костей произведение очков будет равно семи. Для данного события не существует благоприятствующих исходов, по классическому определению вероятности:
, т.е. это событие является невозможным.

б) Рассмотрим событие: – при броске двух игральных костей произведение очков окажется не менее 20. Данному событию благоприятствуют следующие исходы:

Итого: 8
По классическому определению:
– искомая вероятность.

в) Рассмотрим противоположные события:
– произведение очков будет чётным;
– произведение очков будет нечётным.
Перечислим все исходы, благоприятствующие событию :

Итого: 9 благоприятствующих исходов.
По классическому определению вероятности:
Противоположные события образуют полную группу, поэтому:
– искомая вероятность.

Ответ :

Задача 8: Решение : вычислим общее количество исходов: способами могут упасть 10 монет.
Другой путь: способами может упасть 1-я монета и способами может упасть 2-я монета и … и способами может упасть 10-я монета. По правилу умножения комбинаций, 10 монет могут упасть способами.
а) Рассмотрим событие: – на всех монетах выпадет орёл. Данному событию благоприятствует единственный исход, по классическому определению вероятности: .
б) Рассмотрим событие: – на 9 монетах выпадет орёл, а на одной – решка.
Существует монет, на которых может выпасть решка. По классическому определению вероятности: .
в) Рассмотрим событие: – орёл выпадет на половине монет.
Существует уникальных комбинаций из пяти монет, на которых может выпасть орёл. По классическому определению вероятности:
Ответ :

1. Изложение основных теорем и формул вероятностей: теорема сложения, условная вероятность, теорема умножения, независимость событий, формула полной вероятности.

Цели: создание благоприятных условий для введения понятия вероятности события; знакомство с основными теоремами и формулами теории вероятностей; ввести формулу полной вероятности.

Ход занятия:

Случайным экспериментом (опытом) называют процесс, при котором возможны различные исходы, причем заранее нельзя предсказать, каков будет результат. Возможные исключающие друг друга исходы опыта называются его элементарными событиями . Множество элементарных событий обозначим через W.

Случайным событием называется событие, о котором нельзя заранее сказать, произойдет оно в результате опыта или нет. Каждому случайному событию А, происшедшему в результате опыта, можно поставить в соответствие группу элементарных событий из W. Элементарные события, входящие в состав этой группы, называют благоприятствующими появлению события А.

Множество W также можно рассматривать как случайное событие. Поскольку оно включает все элементарные события, то обязательно произойдет в результате опыта. Такое событие называют достоверным .

Если для данного события нет благоприятствующих элементарных событий из W, то и результате опыта оно произойти не может. Такое событие называют невозможным.

События называют равновозможными , если в результате испытания обеспечиваются равные возможности осуществления этих событий. Два случайных события называются противоположными , если в результате проведения опыта одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое. Событие, противоположное событию А, обозначают .

События А и В называют несовместными , если появление одного из них исключает появление другого. События А 1 , А 2 , ..., А n называют попарно несовместными, если любые два из них несовместны. События А 1 , А 2 , ..., Аn образуют полную систему попарно несовместных событий , если в результате испытания обязательно произойдет одно и только одно из них.

Суммой (объединением) событий А 1 , А 2 , ..., А n называется такое событие С, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий А 1 , А 2 , ..., А n Сумма событий обозначается следующим образом:

C = A 1 +A 2 +…+A n .

Произведением (пересечением) событий А 1 , А 2 , ..., А n называется такое событие П, которое состоит в том, что одновременно произошли все события А 1 , А 2 , ..., А n . Произведение событий обозначается

Вероятность Р(А) в теории вероятностей выступает как числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного случайного события А при многократном повторении испытаний.

Допустим, при 1000 бросаний игральной кости цифра 4 выпадает 160 раз. Отношение 160/1000 = 0,16 показывает относительную частоту выпадений цифры 4 в данной серии испытаний. В более общем случае частотой случайного события А при проведении серии опытов называют отношение числа опытов, в которых произошло данное событие, к общему числу опытов:

где Р*(А) - частота события А; m - число опытов, в которых произошло событие А; n - общее число опытов.

Вероятностью случайного события А называют постоянное число, около которого группируются частоты данного события по мере увеличения количества опытов (статистическое определение вероятности события ). Вероятность случайного события обозначают Р(А).

Естественно, что никто и никогда не сможет проделать неограниченное число испытаний для того, чтобы определить вероятность. В этом нет и необходимости. Практически за вероятность можно принять частоту события при большом числе испытаний. Так, например, из статистических закономерностей рождения, установленных за много лет наблюдений, вероятность того события, что новорожденный будет мальчиком, оценивается в 0,515.

Если при испытании нет каких-либо причин, вследствие которых одно случайное событие появилось бы чаще других (равновозможные события ), можно определить вероятность исходя из теоретических соображений. Например, выясним в случае бросания монеты частоту выпадения герба (событие А). разными экспериментаторами при нескольких тысячах испытаний было показано, что относительная частота такого события принимает значения, близкие к 0,5. учитывая, что появление герба и противоположной стороны монеты (событие В) являются событиями равновозможными, если монета симметрична, суждение Р(А)=Р(В)=0,5 можно было бы сделать и без определения частоты этих событий. На основе понятия «равновозможности» событий формулируется другое определение вероятности.

Пусть рассматриваемое событие А происходит в m случаях, которые называются благоприятствующими А, и не происходит при остальных n-m, неблагоприятствующих А.

Тогда вероятность события А равна отношению количества благоприятствующих ему элементарных событий к их общему числу (классическое определение вероятности события ):

где m - количество элементарных событий, благоприятствующих событию А; n - Общее количество элементарных событий.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример №1: В урне находится 40 шаров: 10 черных и 30 белых. Найти вероятность того, что наугад выбранный шар будет черным.

Число благоприятствующих случаев равно числу черных шаров в урне: m = 10. общее число равновозможных событий (вынимание одного шара) равна полному числу шаров в урне: n = 40. Эти события несовместны, так как вынимается один и только один шар. Р(А) = 10/40 = 0,25

Пример №2: найти вероятность выпадения четного числа при бросании игральной кости.

При бросании кости реализуется шесть равновозможных несовместных событий: появление одной цифры:1,2,3,4,5 или 6, т.е. n = 6. благоприятствующими случаями являются выпадение одной из цифр 2,4 или 6: m = 3. искомая вероятность Р(А) = m/N = 3/6 = ½.

Как видим из определения вероятности события, для всех событий

0 < Р(А) < 1.

Очевидно, что вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0.

Теорема сложения вероятностей: вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Для двух несовместных событий А и В вероятностей этих событий равна сумме их вероятностей:

Р(А или В)=Р(А) + Р(В).

Пример №3: найти вероятность выпадения 1 ил 6 при бросании игральной кости.

Событие А (выпадение 1) и В(выпадение 6) являются равновозможными: Р(А) = Р(В) = 1/6, поэтому Р(А или В) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Сложение вероятностей справедливо не только для двух, но и для любого числа несовместных событий.

Пример №4: в урне находится 50 шаров: 10 белых, 20 черных, 5 красных и 15 синих. Найти вероятность появления белого, или черного, или красного шара при однократной операции изъятия шара из урны.

Вероятность вынимания белого шара (событие А) равна Р(А) = 10/50 = 1/5, черного шара (событие В) равна Р(В) = 20/50 = 2/5 и красного шара (событие С) равно Р(С) = 5/50 = 1/10. Отсюда по формуле сложения вероятностей получим Р(А или В или С) = Р(А) +Р(В) =Р(С) = 1/5 + 2/5 + 1/10 = 7/10

Сумма вероятностей двух противоположных событий, как следует из теоремы сложения вероятностей, равна единице:

Р(А) + Р() = 1

В выше рассмотренном примере вынимание белого, черного и красного шара будет событием А 1 , Р(А 1) = 7/10. Противоположным событием 1 является доставание синего шара. Так как синих шаров 15, а общее количество шаров 50, то получаем Р( 1) = 15/50 = 3/10 и Р(А) + Р() = 7/10 +3/10 = 1.

Если события А 1 , А 2 , ..., А n образуют полную систему попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

В общем случае вероятность суммы двух событий А и В вычисляется как

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р (АВ).

Теорема умножения вероятностей:

События А и В называются независимыми , если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет, и наоборот, вероятность появления события В не зависит от того, произошло событие А или нет.

Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей . Для двух событий Р(А и В)=Р(А)·Р(В).

Пример: В одной урне 5 черных и 10 белых шаров, в другой 3 черных и 17 белых. Найти вероятность того, что при первом вынимании шаров из каждой урны оба шара окажутся черными.

Решение: вероятность вытаскивания черного шара из первой урны (событие А) – Р(А) = 5/15 = 1/3, черного шара из второй урны (событие В) – Р(В) = 3/20

Р(А и В)=Р(А)·Р(В) = (1/3)(3/20) = 3/60 = 1/20.

На практике нередко вероятность события В зависит оттого, произошло некоторое другое событие А или нет. В этом случае говорят об условной вероятности , т.е. вероятности события В при условии, что событие А произошло. Условную вероятность обозначают P(B/A).

Глава I . СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ

1.1. Закономерность и случайность, случайная изменчивость в точных науках, в биологии и медицине

Теория вероятностей – область математики, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление – это явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта может протекать каждый раз несколько по-иному.

Очевидно, что в природе нет ни одного явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности, но в различных ситуациях мы учитываем их по-разному. Так, в ряде практических задач ими можно пренебречь и рассматривать вместо реального явления его упрощенную схему – «модель», предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. При этом выделяются самые главные, решающие факторы, характеризующие явление. Именно такая схема изучения явлений чаще всего применяется в физике, технике, механике; именно так выявляется основная закономерность, свойственная данному явлению и дающая возможность предсказать результат опыта по заданным исходным условиям. А влияние случайных, второстепенных, факторов на результат опыта учитывается здесь случайными ошибками измерений (методику их расчета рассмотрим далее).

Однако описанная классическая схема так называемых точных наук плохо приспособлена для решения многих задач, в которых многочисленные, тесно переплетающиеся между собой случайные факторы играют заметную (часто определяющую) роль. Здесь на первый план выступает случайная природа явления, которой уже нельзя пренебречь. Это явление необходимо изучать именно с точки зрения закономерностей, присущих ему как случайному явлению. В физике примерами таких явлений являются броуновское движение, радиоактивный распад, ряд квантово-механических процессов и др.

Предмет изучения биологов и медиков – живой организм, зарождение, развитие и существование которого определяется очень многими и разнообразными, часто случайными внешними и внутренними факторами. Именно поэтому явления и события живого мира во многом тоже случайны по своей природе.

Элементы неопределенности, сложности, многопричинности, присущие случайным явлениям, обусловливают необходимость создания специальных математических методов для изучения этих явлений. Разработка таких методов, установление специфических закономерностей, свойственных случайным явлениям, –главные задачи теории вероятностей. Характерно, что эти закономерности выполняются лишь при массовости случайных явлений. Причем индивидуальные особенности отдельных случаев как бы взаимно погашаются, а усредненный результат для массы случайных явлений оказывается уже не случайным, а вполне закономерным. В значительной мере данное обстоятельство явилось причиной широкого распространения вероятностных методов исследования в биологии и медицине.

Рассмотрим основные понятия теории вероятностей.

1.2. Вероятность случайного события

Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, базируется на ряде основных понятий. Например, в геометрии – это понятия точки, прямой линии; в механике – понятия силы, массы, скорости и т. д. Основные понятия существуют и в теории вероятностей, одно из них – случайное событие.

Случайное событие – это всякое явление (факт), которое в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.

Случайные события обозначаются буквами А, В, С … и т. д. Приведем несколько примеров случайных событий:

А –выпадение орла (герба) при подбрасывании стандартной монеты;

В – рождение девочки в данной семье;

С – рождение ребенка с заранее заданной массой тела;

D – возникновение эпидемического заболевания в данном регионе в определенный период времени и т. д.

Основной количественной характеристикой случайного события является его вероятность. Пусть А – какое-то случайное событие. Вероятность случайного события А – это математическая величина, которая определяет возможность его появления. Она обозначается Р (А ).

Рассмотрим два основных метода определения данной величины.

Классическое определение вероятности случайного события обычно базируется на результатах анализа умозрительных опытов (испытаний), суть которых определяется условием поставленной задачи. При этом вероятность случайного события Р(А) равна:

где m – число случаев, благоприятствующих появлению события А ; n – общее число равновозможных случаев.

Пример 1. Лабораторная крыса помещена в лабиринт, в котором лишь один из четырех возможных путей ведет к поощрению в виде пищи. Определите вероятность выбора крысой такого пути.

Решение : по условию задачи из четырех равновозможных случаев (n =4) событию А (крыса находит пищу)
благоприятствует только один, т. е. m = 1 Тогда Р (А ) = Р (крыса находит пищу) = = 0,25= 25%.

Пример 2. В урне 20 черных и 80 белых шаров. Из нее наугад вынимается один шар. Определите вероятность того, что этот шар будет черным.

Решение : количество всех шаров в урне – это общее число равновозможных случаев n , т. е. n = 20 + 80 = 100, из них событие А (извлечение черного шара) возможно лишь в 20, т. е. m = 20. Тогда Р (А ) = Р (ч. ш.) = = 0,2 = 20%.

Перечислим свойства вероятности следующие из ее классического определения – формула (1):

1. Вероятность случайного события – величина безразмерная.

2. Вероятность случайного события всегда положительна и меньше единицы, т. е. 0 < P (A ) < 1.

3. Вероятность достоверного события, т. е. события, которое в результате опыта обязательно произойдет (m = n ), равна единице.

4. Вероятность невозможного события (m = 0) равна нулю.

5. Вероятность любого события – величина не отрицательная и не превышающая единицу:
0 £ P (A ) £ 1.

Статистическое определение вероятности случайного события применяется тогда, когда невозможно использоватьклассическое определение (1). Это часто имеет место в биологии и медицине. В таком случае вероятность Р (А ) определяют путем обобщения результатов реально проведенных серий испытаний (опытов).

Введем понятие относительной частоты появления случайного события. Пусть была проведена серия, состоящая из N опытов (число N может быть выбрано заранее); интересующее нас событие А произошло в М из них (M < N ). Отношение числа опытов М , в которых произошло это событие, к общему числу проведенных опытов N называют относительной частотой появления случайного события А в данной серии опытов – Р * (А )

Р* (А ) = .

Экспериментально установлено, что если серии испытаний (опытов) проводятся в одинаковых условиях и в каждой из них число N достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости: от серии к серии она меняется мало, приближаясь c увеличением числа опытов к некоторой постоянной величине. Ее и принимают за статистическую вероятность случайного события А :

Р (А) = lim , при N , (2)

Итак, статистической вероятностью Р (А ) случайного события А называют предел, к которому стремится относительная частота появления этого события при неограниченном возрастании числа испытаний (при N → ∞).

Приближенно статистическая вероятность случайного события равна относительной частоте появления этого события при большом числе испытаний:

Р (А ) ≈ Р* (А ) = (при больших N ) (3)

Например, в опытах по бросанию монеты относительная частота выпадения герба при 12000 бросаний оказалась равной 0,5016, а при 24000 бросаний – 0,5005. В соответствии с формулой (1):

P (герб) = = 0,5 = 50%

Пример. При врачебном обследовании 500 человек у 5 из них обнаружили опухоль в легких (о. л.). Определите относительную частоту и вероятность этого заболевания.

Решение : по условию задачи М = 5, N = 500, относительная частота Р *(о. л.) = М /N = 5/500 = 0,01; поскольку N достаточно велико, можно с хорошей точностью считать, что вероятность наличия опухоли в легких равна относительной частоте этого события:

Р (о. л.) = Р *(о. л.) = 0,01 = 1%.

Перечисленные ранее свойства вероятности случайного события сохраняются и при статистическом определении данной величины.

1.3. Виды случайных событий. Основные теоремы теории вероятностей

Все случайные события можно разделить на:

¾ несовместные;

¾ независимые;

¾ зависимые.

Для каждого вида событий характерны свои особенности и теоремы теории вероятностей.

1.3.1. Несовместные случайные события. Теорема сложения вероятностей

Случайные события (А, В, С, D …) называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример1. Подброшена монета. При ее падении появление «герба» исключает появление «решки» (надписи, определяющей цену монеты). События «выпал герб» и «выпала решка» несовместные.

Пример 2. Получение студентом на одном экзамене оценки «2», или «3», или «4», или «5» – события несовместные, так как одна из этих оценок исключает другую на том же экзамене.

Для несовместных случайных событий выполняется теорема сложения вероятностей: вероятность появления одного, но все равно какого, из нескольких несовместных событий А1, А2, А3 … А k равна сумме их вероятностей:

Р(А1или А2 … или А k ) = Р(А1) + Р(А2) + …+ Р(А k ). (4)

Пример 3. В урне находится 50 шаров: 20 белых, 20 черных и 10 красных. Найдите вероятность появления белого (событие А ) или красного шара (событие В ), когда шар наугад достают из урны.

Решение: Р (А или В ) = Р (А ) + Р (В );

Р (А ) = 20/50 = 0,4;

Р (В ) = 10/50 = 0,2;

Р (А или В ) = Р (б. ш. или к. ш.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

Пример 4. В классе 40 детей. Из них в возрасте от 7 до 7,5 лет 8 мальчиков (А ) и 10 девочек (В ). Найдите вероятность присутствия в классе детей такого возраста.

Решение: Р (А ) = 8/40 = 0,2; Р (В ) = 10/40 = 0,25.

Р(А или В) = 0,2 + 0,25 = 0,45 = 45%

Следующее важное понятие – полная группа событий: несколько несовместных событий образуют полную группу событий, если в результате каждого испытания может появляться только одно из событий этой группы и никакое другое.

Пример 5. Стрелок произвел выстрел по мишени. Обязательно произойдет одно из следующих событий: попадание в «десятку», в «девятку», в «восьмерку»,.. ,в «единицу» или промах. Эти 11 несовместных событий образуют полную группу.

Пример 6. На экзамене в Вузе студент может получить одну из следующих четырех оценок: 2, 3, 4 или 5. Эти четыре несовместных события также образуют полную группу.

Если несовместные события А1, А2 … А k образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий всегда равна единице:

Р (А1 ) + Р (А2 )+ … Р (А k ) = 1, (5)

Это утверждение часто используется при решении многих прикладных задач.

Если два события единственно возможны и несовместны, то их называют противоположными и обозначают А и . Такие события составляют полную группу, поэтому сумма их вероятностей всегда равна единице:

Р (А ) + Р () = 1. (6)

Пример 7. Пусть Р (А ) – вероятность летального исхода при некотором заболевании; она известна и равна 2%. Тогда вероятность благополучного исхода при этом заболевании равна 98% (Р () = 1 – Р (А ) = 0,98), так как Р (А ) + Р () = 1.

1.3.2. Независимые случайные события. Теорема умножения вероятностей

Случайные события называются независимыми, если появление одного из них никак не влияет на вероятность появления других событий.

Пример 1. Если есть две или более урны с цветными шарами, то извлечение какого-либо шара из одной урны никак не повлияет на вероятность извлечения других шаров из оставшихся урн.

Для независимых событий справедлива теорема умножения вероятностей: вероятность совместного (одновременного ) появления нескольких независимых случайных событий равна произведению их вероятностей:

Р(А1и А2 и А3 … и А k ) = Р(А1) ∙Р(А2) ∙…∙Р(А k ). (7)

Совместное (одновременное) появление событий означает, что происходят события и А1, и А2 , и А3 … и А k .

Пример 2. Есть две урны. В одной находится 2 черных и 8 белых шаров, в другой – 6 черных и 4 белых. Пусть событие А –выбор наугад белого шара из первой урны, В – из второй. Какова вероятность выбрать наугад одновременно из этих урн по белому шару, т. е. чему равна Р (А и В )?

Решение: вероятность достать белый шар из первой урны
Р (А ) = = 0,8 из второй – Р (В ) = = 0,4. Вероятность одновременно достать по белому шару из обеих урн –
Р (А и В ) = Р (А )·Р (В ) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Пример 3. Рацион с пониженным содержанием йода вызывает увеличение щитовидной железы у 60% животных большой популяции. Для эксперимента нужны 4 увеличенных железы. Найдите вероятность того, что у 4 случайно выбранных животных будет увеличенная щитовидная железа.

Решение : Случайное событие А – выбор наугад животного с увеличенной щитовидной железой. По условию задачи вероятность этого события Р (А ) = 0,6 = 60%. Тогда вероятность совместного появления четырех независимых событий – выбор наугад 4 животных с увеличенной щитовидной железой – будет равна:

Р (А 1 и А 2 и А 3 и А 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.

1.3.3. Зависимые события. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий

Случайные события А и В называются зависимыми, если появление одного из них, например, А изменяет вероятность появления другого события – В. Поэтому для зависимых событий используются два значения вероятности: безусловная и условная вероятности.

Если А и В зависимые события, то вероятность наступления события В первым (т. е. до события А ) называется безусловной вероятностью этого события и обозначается Р (В ). Вероятность наступления события В при условии, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р (В /А ) или РА (В).

Аналогичный смысл имеют безусловная – Р (А ) и условная – Р (А/В ) вероятности для события А.

Теорема умножения вероятностей для двух зависимых событий: вероятность одновременного наступления двух зависимых событий А и В равна произведению безусловной вероятности первого события на условную вероятность второго:

Р (А и В ) = Р (А ) ∙Р (В/А ) , (8)

А , или

Р (А и В ) = Р (В ) ∙Р (А/В), (9)

если первым наступает событие В .

Пример 1. В урне 3 черных шара и 7 белых. Найдите вероятность того, что из этой урны один за другим (причем первый шар не возвращают в урну) будут вынуты 2 белых шара.

Решение : вероятность достать первый белый шар (событие А ) равна 7/10. После того как он вынут, в урне остается 9 шаров, из них 6 белых. Тогда вероятность появления второго белого шара (событие В ) равна Р (В /А ) = 6/9, а вероятность достать подряд два белых шара равна

Р (А и В ) = Р (А )∙Р (В /А ) = = 0,47 = 47%.

Приведенная теорема умножения вероятностей для зависимых событий допускает обобщение на любое количество событий. В частности, для трех событий, связанных друг с другом:

Р (А и В и С ) = Р (А ) ∙ Р (В/А ) ∙ Р (С/АВ ). (10)

Пример 2. В двух детских садах, каждый из которых посещает по 100 детей, произошла вспышка инфекционного заболевания. Доли заболевших составляют соответственно 1/5 и 1/4, причем в первом учреждении 70 %, а во втором – 60 % заболевших – дети младше 3-х лет. Случайным образом выбирают одного ребенка. Определите вероятность того, что:

1) выбранный ребенок относится к первому детскому саду (событие А ) и болен (событие В ).

2) выбран ребенок из второго детского сада (событие С ), болен (событие D ) и старше 3-х лет (событие Е ).

Решение . 1) искомая вероятность –

Р (А и В ) = Р (А ) ∙ Р (В /А ) = = 0,1 = 10%.

2) искомая вероятность:

Р (С и D и Е ) = Р (С ) ∙ Р (D /C ) ∙ Р (Е /CD ) = = 5%.

1.4. Формула Байеса

Если вероятность совместного появления зависимых событий А и В не зависит от того, в каком порядке они происходят, то Р (А и В ) = Р (А ) ∙Р (В/А ) = Р (В ) × Р (А/В ). В этом случае условную вероятность одного из событий можно найти, зная вероятности обоих событий и условную вероятность второго:

Р (В/А ) = (11)

Обобщением данной формулы на случай многих событий является формула Байеса.

Пусть «n » несовместных случайных событий Н1, Н2, …, Н n , образуют полную группу событий. Вероятности этих событий – Р (Н1 ), Р (Н2 ), …, Р (Н n ) известны и так как они образуют полную группу, то = 1.

Некоторое случайное событие А связано с событиями Н1, Н2, …, Н n , причем известны условные вероятности появления события А с каждым из событий Н i , т. е. известны Р (А/Н1 ), Р (А/Н2 ), …, Р (А/Н n ). При этом сумма условных вероятностей Р (А/Н i ) может быть не равна единице т. е. ≠ 1.

Тогда условная вероятность появления события Н i при реализации события А (т. е. при условии, что событие А произошло) определяется формулой Байеса:

Причем для этих условных вероятностей .

Формула Байеса нашла широкое применение не только в математике, но и в медицине. Например, она используется для вычисления вероятностей тех или иных заболеваний. Так, если Н 1,…, Н n – предполагаемые диагнозы для данного пациента, А – некоторый признак, имеющий отношение к ним (симптом, определенный показатель анализа крови, мочи, деталь рентгенограммы и т. д.), а условные вероятности Р (А/Н i ) проявления этого признака при каждом диагнозе Н i (i = 1,2,3,…n ) заранее известны, то формула Байеса (12) позволяет вычислить условные вероятности заболеваний (диагнозов) Р (Н i /А ) после того как установлено, что характерный признак А присутствует у пациента.

Пример1. При первичном осмотре больного предполагаются 3 диагноза Н 1, Н 2, Н 3. Их вероятности, по мнению врача, распределяются так: Р (Н 1) = 0,5; Р (Н 2) = 0,17; Р (Н 3) = 0,33. Следовательно, предварительно наиболее вероятным кажется первый диагноз. Для его уточнения назначается, например, анализ крови, в котором ожидается увеличение СОЭ (событие А ). Заранее известно (на основании результатов исследований), что вероятности увеличения СОЭ при предполагаемых заболеваниях равны:

Р (А /Н 1) = 0,1; Р (А /Н 2) = 0,2; Р (А /Н 3) = 0,9.

В полученном анализе зафиксировано увеличение СОЭ (событие А произошло). Тогда расчет по формуле Байеса (12) дает значения вероятностей предполагаемых заболеваний при увеличенном значении СОЭ: Р (Н 1/А ) = 0,13; Р (Н 2/А ) = 0,09;
Р (Н 3/А ) = 0,78. Эти цифры показывают, что с учетом лабораторных данных наиболее реален не первый, а третий диагноз, вероятность которого теперь оказалась достаточно большой.

Приведенный пример – простейшая иллюстрация того, как с помощью формулы Байеса можно формализовать логику врача при постановке диагноза и благодаря этому создать методы компьютерной диагностики.

Пример 2. Определите вероятность, оценивающую степень риска перинатальной* смертности ребенка у женщин с анатомически узким тазом.

Решение : пусть событие Н 1 – благополучные роды. По данным клинических отчетов, Р (Н 1) = 0,975 = 97,5 %, тогда, если Н2 – факт перинатальной смертности, то Р (Н 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Обозначим А – факт наличия узкого таза у роженицы. Из проведенных исследований известны: а) Р (А /Н 1) – вероятность узкого таза при благоприятных родах, Р (А /Н 1) = 0,029, б) Р (А /Н 2) – вероятность узкого таза при перинатальной смертности,
Р (А /Н 2) = 0,051. Тогда искомая вероятность перинатальной смертности при узком тазе у роженицы рассчитывается по формуле Байса (12) и равна:

Таким образом, риск перинатальной смертности при анатомически узком тазе значительно выше (почти вдвое) среднего риска (4,4 % против 2,5 %).

Подобные расчеты, обычно выполняемые с помощью компьютера, лежат в основе методов формирования групп пациентов повышенного риска, связанного с наличием того или иного отягощающего фактора.

Формула Байеса очень полезна для оценки многих других медико-биологических ситуаций, что станет очевидным при решении приведенных в пособии задач.

1.5. О случайных событиях с вероятностями близкими к 0 или к 1

При решении многих практических задач приходится иметь дело с событиями, вероятность которых очень мала, т. е. близка к нулю. На основании опыта в отношении таких событий принят следующий принцип. Если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании оно не наступит, иначе говоря, возможностью его появления можно пренебречь. Ответ на вопрос, насколько малой должна быть эта вероятность, определяется существом решаемых задач, тем, насколько важен для нас результат предсказания. Например, если вероятность того, что парашют при прыжке не раскроется равна 0,01, то применение таких парашютов недопустимо. Однако равная той же 0,01 вероятность того, что поезд дальнего следования прибудет с опозданием, делает нас практически уверенными в том, что он прибудет вовремя.

Достаточно малую вероятность, при которой (в данной конкретной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике уровень значимости обычно принимают равным 0,01 (однопроцентный уровень значимости) или 0,05 (пятипроцентный уровень значимости), намного реже он берется равным 0,001.

Введение уровня значимости позволяет утверждать, что если некоторое событие А практически невозможно, то противоположное событие - практически достоверно, т. е. для него Р () » 1.

Глава II . СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

2.1. Случайные величины, их виды

В математике величина – это общее название различных количественных характеристик предметов и явлений. Длина, площадь, температура, давление и т. д. – примеры разных величин.

Величина, которая принимает различные числовые значения под влиянием случайных обстоятельств, называется случайной величиной . Примеры случайных величин: число больных на приеме у врача; точные размеры внутренних органов людей и т. д.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает только определенные отделенные друг от друга значения, которые можно установить и перечислить.

Примерами дискретной случайной величиной являются:

– число студентов в аудитории – может быть только целым положительным числом: 0,1,2,3,4….. 20…..;

– цифра, которая появляется на верхней грани при бросании игральной кости – может принимать лишь целые значения от 1 до 6;

– относительная частота попадания в цель при 10 выстрелах – ее значения: 0; 0,1; 0,2; 0,3 …1

– число событий, происходящих за одинаковые промежутки времени: частота пульса, число вызовов скорой помощи за час, количество операций в месяц с летальным исходом и т. д.

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любые значения внутри определенного интервала, который иногда имеет резко выраженные границы, а иногда – нет *. К непрерывным случайным величинам относятся, например, масса тела и рост взрослых людей, масса тела и объем мозга, количественное содержание ферментов у здоровых людей, размеры форменных элементов крови, р Н крови и т. п.

Понятие случайной величины играет определяющую роль в современной теории вероятностей, разработавшей специальные приемы перехода от случайных событий к случайным величинам.

Если случайная величина зависит от времени, то можно говорить о случайном процессе.

2.2. Закон распределения дискретной случайной величины

Чтобы дать полную характеристику дискретной случайной величины необходимо указать все ее возможные значения и их вероятности.

Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения этой величины.

Обозначим возможные значения случайной величины Х через х i , а соответствующие им вероятности – через р i *. Тогда закон распределения дискретной случайной величины можно задать тремя способами: в виде таблицы, графика или формулы.

В таблице, которая называется рядом распределения, перечисляются все возможные значения дискретной случайной величины Х и соответствующие этим значениям вероятности Р (Х ):

Х

…..

…..

P (X )

…..

…..

При этом сумма всех вероятностей р i должна быть равна единице (условие нормировки):

р i = p 1 + p 2 + ... + pn = 1. (13)

Графически закон представляется ломаной линией, которую принято называть многоугольником распределения (рис.1). Здесь по горизонтальной оси откладывают все возможные значения случайной величины х i , , а по вертикальной оси – соответствующие им вероятности р i

Аналитически закон выражается формулой. Например, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна р, то вероятность поражения цели 1 раз при n выстрелах дается формулой Р (n ) = n qn -1 × p , где q = 1 – р – вероятность промаха при одном выстреле.

2.3. Закон распределения непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятности

Для непрерывных случайных величин невозможно применить закон распределения в формах, приведенных выше, поскольку такая величина имеет бесчисленное («несчетное») множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый интервал. Поэтому составить таблицу, в которой были бы перечислены все ее возможные значения, или построить многоугольник распределения нельзя. Кроме того, вероятность какого-либо ее конкретного значения очень мала (близка к 0)*. Вместе с тем различные области (интервалы) возможных значений непрерывной случайной величины не равновероятны. Таким образом, и в данном случае действует некий закон распределения, хотя и не в прежнем смысле.

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х , возможные значения которой сплошь заполняют некий интервал (а , b )**. Закон распределения вероятностей такой величины должен позволить найти вероятность попадания ее значения в любой заданный интервал (х1, х2 ), лежащий внутри (а, b ), рис.2.

Эту вероятность обозначают Р (х1 < Х < х2 ), или
Р (х1 £ Х £ х2 ).

Рассмотрим сначала очень малый интервал значений Х – от х до (х + D х ); см. рис.2. Малая вероятность d Р того, что случайная величина Х примет какое-то значение из интервала (х, х + D х ), будет пропорциональна величине данного интервала D х: d Р ~ D х , или, введя коэффициент пропорциональности f , который сам может зависеть от х , получим:

d Р = f (х ) × Dх = f (x ) × dx (14)

Введенная здесь функция f (х ) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины Х, или, короче, плотностью вероятности , плотностью распределения . Уравнение (13) – дифференциальное уравнение, решение которого дает вероятность попадания величины Х в интервал (х1 , х2) :

Р (х1 < Х < х2 ) = f (х ) d х. (15)

Графически вероятность Р (х1 < Х < х2 ) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, кривой f (х ) и прямыми Х = х1 и Х = х2 (рис.3). Это следует из геометрического смысла определенного интеграла (15) Кривая f (х ) при этом называется кривой распределения.

Из (15) следует, что если известна функция f (х ), то, изменяя пределы интегрирования, можно найти вероятность для любых интересующих нас интервалов. Поэтому именно задание функции f (х ) полностью определяет закон распределения для непрерывных случайных величин.

Для плотности вероятности f (х ) должно выполняться условие нормировки в виде:

f (х ) d х = 1, (16)

если известно, что все значения Х лежат в интервале (а, b ), или в виде:

f (х ) d х = 1 , (17)

если границы интервала для значений Х точно неопределенны. Условия нормировки плотности вероятности (16) или (17) являются следствием того, что значения случайной величины Х достоверно лежат в пределах (а, b ) или (-¥, +¥). Из (16) и (17) следует, что площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, всегда равна 1.

2.4. Основные числовые характеристики случайных величин

Результаты, изложенные в параграфах 2.2 и 2.3, показывают, что полную характеристику дискретной и непрерывной случайных величин можно получить, зная законы их распределения. Однако во многих практически значимых ситуациях пользуются так называемыми числовыми характеристиками случайных величин, главное назначение этих характеристик – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения случайных величин. Важно, что данные параметры представляют собой конкретные (постоянные) значения, которые можно оценивать с помощью полученных в опытах данных. Этими оценками занимается «Описательная статистика».

В теории вероятностей и математической статистике используется достаточно много различных характеристик, но мы рассмотрим только наиболее употребляемые. Причем лишь для части из них приведем формулы, по которым рассчитываются их значения, в остальных случаях вычисления оставим компьютеру.

Рассмотрим характеристики положения – математическое ожидание, моду, медиану.

Они характеризуют положение случайной величины на числовой оси, т. е. указывают некоторое ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Среди них важнейшую роль играет математическое ожидание М (Х ).

"Случайности не случайны"... Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.

Что такое теория вероятности?

Теория вероятности - это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.

Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.

Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.

Со страниц истории

Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.

Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.

Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.

Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.

Базовые понятия теории вероятностей. События

Главным понятием этой дисциплины является "событие". События бывают трех видов:

• Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет).
• Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе).
• Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.

Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:

• А = «студенты пришли на лекцию».
• Ā = «студенты не пришли на лекцию».

В практических заданиях события принято записывать словами.

Одна из важнейших характеристик событий - их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.

Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:

• А = «студентка пришла на лекцию».
• В = «студент пришел на лекцию».

Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.

Действия над событиями

События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».

Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.

Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.

Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.

Задание 1 : Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:

• А = «фирма получит первый контракт».
• А 1 = «фирма не получит первый контракт».
• В = «фирма получит второй контракт».
• В 1 = «фирма не получит второй контракт»
• С = «фирма получит третий контракт».
• С 1 = «фирма не получит третий контракт».

С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:

• К = «фирма получит все контракты».

В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.

• М = «фирма не получит ни одного контракта».

М = А 1 В 1 С 1 .

Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:

Н = А 1 ВС 1 υ АВ 1 С 1 υ А 1 В 1 С.

А 1 ВС 1 - это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.

Собственно, вероятность

Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события - это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:

• классическое;
• статистическое;
• геометрическое.

Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:

• Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.

Формула выглядит так: Р(А)=m/n.

А - собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А 1 .

m - количество возможных благоприятных случаев.

n - все события, которые могут произойти.

Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:

Р(А)=9/36=0,25.

В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.

К высшей математике

Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.

Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого - со статистического (или частотного) определения вероятности.

Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить W n (A). Формула ничем не отличается от классической:

Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая - согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.

Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?

А = «появление качественного товара».

W n (A)=97/100=0,97

Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.

Немного о комбинаторике

Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В - n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.

Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?

Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.

Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт - это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.

То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.

В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.

Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n - это все элементы, m - элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:

A n m =n!/(n-m)!

Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Р n = n!

Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула Бернулли

В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов - формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.

Уравнение Бернулли:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.

Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица - это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q - число, которое обозначает возможность ненаступления события.

Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.

Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?

Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.

А = «посетитель совершит покупку».

В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.

Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.

После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:

C n m = n! / m!(n-m)!

Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.

Формула Пуассона

Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.

Основная формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.

Задание 3 : На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?

Как видим, брак - это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:

А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».

р = 0,0001 (согласно условию задания).

n = 100000 (количество деталей).

m = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:

Р 100000 (5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.

Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:

е -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.

Теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.

Сначала найдем X m , подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:

Р 800 (267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.

Формула Байеса

Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:

Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).

А и В являются определенными событиями.

Р(А|B) - условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.

Р (В|А) - условная вероятность события В.

Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» - формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.

Задание 5 : На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором - 60%, на третьем - 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй - 4%, и у третьей - 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.

А = «случайно взятый телефон».

В 1 - телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В 2 и В 3 (для второй и третьей фабрик).

В итоге получим:

Р (В 1) = 25%/100% = 0,25; Р(В 2) = 0,6; Р (В 3) = 0,15 - таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.

Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:

Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02;

Р(А/В 2) = 0,04;

Р (А/В 3) = 0,01.

Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:

Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.

В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.