Примеры сложных и неявных функций. Производная фукнции, заданной неявно: руководство, примеры. Экстремумы функции двух переменных
Функция Z= f(х; у) называется неявной, если она задается уравнением F(x,y,z)=0 неразрешенным относительноZ. Найдем частные производныефункцииZзаданной неявно. Для этого подставив в уравнение вместоZфункцию f(х;у) получим тождествоF(x,y, f(х,у))=0. Частные производные поxи yфункции, тождественно равной нулю, также равны нулю.
F(x,y,
f (х, у)) =
=0
(yсчитаем постоянным)
F(x,y,
f (х, у)) =
=0
(xсчитаем постоянным)
Откуда
и
Пример
: Найти частные производные
функцииZзаданной
уравнением
.
Здесь F(x,y,z)=
;
;
;
.
По формулам приведенным выше имеем:
и
Производная по направлению
Пусть функция двух переменных Z= f(x;
у) задана в некоторой окрестности т. М
(x,y).
Рассмотрим некоторое направление,
определяемое единичным вектором
,
где 
(см. рис.).
На прямой, проходящей по этому направлению
через т. М возьмем т. М 1 (
)
так, что длина
отрезкаMM 1 равна
.
Приращение функцииf(M)
определяется соотношением,
где
связаны соотношениями.
Предел отношения
при
будет называться производной функции
в точке
по направлению
и обозначаться
.
=
Если функция Zдифференцируема
в точке
,
то ее приращение в этой точке с учетом
соотношений для
может быть записано в следующей форме.
поделив обе части на
и переходя к пределу при
получим формулу для производной функции
Z= f(х; у) по направлению:
Градиент
Рассмотрим функцию трех переменных
дифференцируемой в некоторой точке
.
Градиентом этой функции
в точке М называется вектор, координаты
которого равны соответственно частным
производным
в этой точке. Для обозначения градиента
используют символ
.
=
.
.Градиент
указывает направление наибыстрейшего
роста функции в данной точке.
Поскольку единичный вектор
имеет координаты (
),
то производная по направлению для случая
функции трех переменных записывается
в виде,
т.е.
имеет формулу скалярного произведения
векторов
и
.
Перепишем последнюю формулу в следующем
виде:
,
где
- угол между вектором
и
.
Поскольку
,
то отсюда следует, что производная
функции по направлению принимаетmaxзначение при
=0,
т.е. когда направление векторов
и
совпадают. При этом
.Т.е.,
на самом деле градиент функции
характеризует направление и величину
максимальной скорости возрастания этой
функции в точке.
Экстремум функции двух переменных
Понятия max,min,
экстремума функции двух переменных
аналогичны соответствующим понятиям
функции одной переменной. Пусть функция
Z= f(x; у) определена в
некоторой областиDи т.
М
принадлежит к этой области. Точка М
называется точкойmaxфункции Z= f(x; у), если
существует такая δ-окрестность точки
,
что для каждой точки из этой окрестности
выполняется неравенство
.
Аналогичным образом определяется и
точкаmin, только знак
неравенства при этом изменится
.
Значение функции в точкеmax(min) называется максимумом
(минимумом). Максимум и минимум функции
называются экстремумами.
Необходимые и достаточные условия экстремума
Теорема:
(Необходимые условия
экстремума). Если в точке М
дифференцируемая функция Z= f(x;
у) имеет экстремум, то ее частные
производные в этой точке равны нулю:
,
.
Доказательство:
зафиксировав одну
из переменныхxилиy,
ревратим Z= f(x; у) в функцию
одной переменной, для экстремума которой
вышеописанные условия должны выполняться.
Геометрически равенства
и
означают, что в точке экстремума функции
Z= f(x; у), касательная
плоскость к поверхности, изображающую
функциюf(x,y)=Zпараллельна плоскостиOXY,
т.к. уравнение касательной плоскости
естьZ=Z 0.
Точка, в которой частные производные
первого порядка функции Z= f(x;
у) равны нулю, т.е.
,
,
называются стационарной точкой функции.
Функция может иметь экстремум в точках,
где хотя бы одна из частных производных
не существует. НапримерZ=|-
|
имеетmaxв точкеO(0,0),
но не имеет в этой точке производных.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Например, приZ=xyточкаO(0,0) является критической. Однако экстремума в ней функцияZ=xyне имеет. (Т.к. вIиIIIчетвертяхZ>0, а вIIиIV–Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.
Теорема
: (Достаточное условие
экстремумов). Пусть в стационарной точке
и некоторой окрестности функция f(x;
у) имеет непрерывные частные производные
до 2 ого порядка включительно.
Вычислим в точке
значения
,
и
.
Обозначим
В случае если
,
экстремум в точке
может быть, а может и не быть. Необходимы
дополнительные исследования.
Как известно, неявно заданная функция одной переменной определяется так: функция у независимой переменной x называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенным относительно y:
Пример 1.11.
Уравнение
неявно задаёт две функции:
А уравнение
не задаёт никакой функции.
Теорема 1.2 (существования неявной функции).
Пусть функция z =f(х,у) и ее частные производные f"x и f"y определены и непрерывны в некоторой окрестности UM0 точки M0(x0y0). Кроме того, f(x0,y0)=0 и f"(x0,y0)≠0, тогда уравнение (1.33) определяет в окрестности UM0 неявную функцию y= y(x), непрерывную и дифференцируемую в некотором интервале D с центром в точке x0, причем y(x0)=y0.
Без доказательства.
Из теоремы 1.2 следует, что на этом интервале D:
то- есть имеет место тождество по
где "полная" производная находится согласно (1.31)
То есть (1.35) дает формулу нахождения производной неявно заданной функции одной переменной x .
Аналогично определяется и неявная функция двух и более переменных.
Например, если в некоторой области V пространства Oxyz выполняется уравнение:
то при некоторых условиях на функцию F оно неявно задаёт функцию
При этом по аналогии с (1.35) ее частные производные находятся так:
Пример 1.12. Считая, что уравнение
неявно задаёт функцию
найти z"x, z"y.
поэтому согласно (1.37) получаем ответ.
11.Использование частных производных в геометрии.
12.Экстремумы функции двух переменных.
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4).
Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x0;y0) Î D.
Точка (х0;у0) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая d-окрестность точки (х0;у0), что для каждой точки (х;у), отличной от (хо;уо), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо).
А
налогично
определяется точка минимума функции:
для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0),
из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется
неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;у0).
На рисунке 210: N1 - точка максимума, а N2 - точка минимума функции z=ƒ(x;у).
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.
Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (х0;у0) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х0; у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема 46.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N(x0;y0) дифференцируемая функция z=ƒ(х;у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ƒ"x(х0;у0)=0, ƒ"y(х0;у0)=0.
Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=у0. Тогда получим функцию ƒ(х;у0)=φ(х) одной переменной, которая имеет экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), φ"(х0) = 0, т. е. ƒ"x(х0;y0)=0.
Аналогично можно показать, что ƒ"y(х0;у0) = 0.
Геометрически равенства ƒ"x(х0;у0)=0 и ƒ"y(х0;у0)=0 означают, что в точке экстремума функции z=ƒ(х;у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию ƒ(х;у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z=z0 (см. формулу (45.2)).
З
амечание.
Функция может иметь экстремум в точках,
где хотя бы одна из частных производных
не существует. Например, функция
имеет
максимум в точке О(0;0) (см. рис. 211), но не
имеет в этой точке частных производных.
Точка, в которой частные производные первого порядка функции z ≈ ƒ(х; у) равны нулю, т. е. f"x=0, f"y=0, называется стационарной точкой функ ции z.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.
В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка О(0; 0) является критической (в ней z"x=у и z"y - х обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z=ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки О(0; 0) найдутся точки для которых z>0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).
Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.
Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (хо;уо) и некоторой ее окрестности функция ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х0;у0) значения A=f""xx(x0;y0), В=ƒ""xy(х0;у0), С=ƒ""уy(х0;у0). Обозначим
1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;
2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.
В случае Δ = 0 экстремум в точке (х0;у0) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
ЗАДАЧИ
1.
Пример.
Найти
промежутки возрастания и убывания
функции .
Решение.
Первым
шагом является нахождение
обрасти определения функции
.
В нашем примере выражение в знаменателе
не должно обращаться в ноль,
следовательно, .
Переходим
к производной функции:
Для
определения промежутков возрастания
и убывания функции по достаточному
признаку решаем неравенства и на
области определения. Воспользуемся
обобщением метода интервалов. Единственным
действительным корнем числителя
является x
= 2
,
а знаменатель обращается в ноль при x
= 0
.
Эти точки разбивают область определения
на интервалы, в которых производная
функции сохраняет знак. Отметим эти
точки на числовой прямой. Плюсами и
минусами условно обозначим интервалы,
на которых производная положительна
или отрицательна. Стрелочки снизу
схематично показывают возрастание или
убывание функции на соответствующем
интервале.
Таким
образом, 
и 
.
В
точке x
= 2
функция
определена и непрерывна, поэтому ее
следует добавить и к промежутку
возрастания и к промежутку убывания. В
точке x
= 0
функция
не определена, поэтому эту точку не
включаем в искомые интервалы.
Приводим
график функции для сопоставления с ним
полученных результатов.
Ответ:
функция
возрастает при 
,
убывает на интервале (0;
2]
.
2.
Примеры .
Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой y = 2 – x 2 .
Найдем y "" и определим, где вторая производная положительна и где отрицательна. y " = –2x , y "" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.
y = e x . Так как y "" = e x > 0 при любых x , то кривая всюду вогнута.
y = x 3 . Так как y "" = 6x , то y "" < 0 при x < 0 и y "" > 0 при x > 0. Следовательно, при x < 0 кривая выпукла, а при x > 0 вогнута.
3.
4. Дана функция z=x^2-y^2+5x+4y, вектор l=3i-4j и точка А(3,2). Найти dz/dl (я так понял производная функции по направлению вектора), gradz(A), |gradz(A)|. Найдем частные производные: z(по х)=2x+5 z(по y)=-2y+4 Найдем значения производных в точке А(3,2): z(по х)(3,2)=2*3+5=11 z(по y)(3,2)=-2*2+4=0 Откуда, gradz(A)=(11,0)=11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0^2)=11 Производная функции z по направлению вектора l: dz/dl=z(по х)*cosa+z(по у)*cosb, a,b-углы вектора l с осями координат. cosa=lх/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.
Производные высших порядков находятся последовательным дифференцированием формулы (1).
Пример. Найти и , если (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.
Решение. Обозначая левую часть данного уравнения через f (х,y) найдем частные производные
f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],
f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].
Отсюда, применяя формулу (1), получим:
.
Чтобы найти вторую производную, продифференцируем по х найденную первую производную, учитывай при этом, что у есть функция х:
.
2°. Случай нескольких независимых переменных . Аналогично, если уравнение F(х, у, z)=0 , где F(х, у, z ) - дифференцируемая функция переменных х, у и z , определяет z как функцию независимых переменных х и у и Fz(x, у, z)≠ 0, то частные производные этой неявно заданной функции, вообще говоря, могут быть найдены по формулам
|
|
.Другой способ нахождения производных функции z следующий: дифференцируя уравнение F(х, у, z) = 0 , получим:
.
Отсюда можно определить dz, а следовательно, и .
Пример. Найти и , если x ² - 2 y ²+3 z ² - yz + y =0.
1-й способ. Обозначая левую часть данного уравнения через F(х, у, z) , найдем частные производные F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y .
Применив формулы (2), получим:
2-й способ. Дифференцируя данное уравнение, получим:
2х dx -4 y dy +6 z dz - y dz - z dy + dy =0
Отсюда определяем dz , т. е. полный дифференциал неявной функции:
.
Сравнивая с формулой 
, видим, что
.
3°. Система неявных функций . Если система двух уравнений
определяет u и v как функции переменных х и у и якобиан
,
то дифференциалы этих функций (а следовательно, и их частные производные) могут быть найдены из системы уравнений
|
|
Пример:
Уравнения u+v=x+y,
xu+yv=1
определяют u
и v
как функции х
и у
;
найти 
.
Решение. 1-й способ. Дифференцируя оба уравнения по х, получим:
.
Аналогичным образом найдем:
.
2-й способ. Дифференцированием находим два уравнения, связывающие дифференциалы всех четырех переменных: du + dv = dx + dy , x du + u dx + y dv + v dy =0.
Решив эту систему относительно дифференциалов du и dv , получим:
4°. Параметрическое задание функции . Если функция г переменных х и у задана параметрически уравнениями x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) и
,
то дифференциал этой функции может быть найден из системы уравнений
|
|
Зная дифференциал dz=p dx+q dy , находим частные производные и .
Пример. Функция z аргументов х и у задана уравнениями x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v ).
Найти и .
Решение. 1-й способ. Дифференцированием находим три уравнения, связывающие дифференциалы всех пяти переменных:
Из первых двух уравнений определим du и dv :
.
Подставим в третье уравнение найденные значения du и dv :
.
2-й способ. Из третьего данного уравнения можно найти:
Продифференцируем первые два уравнения сначала по х, затем по у :
Из первой системы найдем: 
.
Из второй системы найдем: 
.
Подставляя выражения и в формулу (5), получим:
Замена переменных
При замене переменных в дифференциальных выражениях входящие в них производные следует выразить через другие производные по правилам дифференцирования сложной функции.
1°. Замена переменных в выражениях, содержащих обыкновенные производные.
,
полагая .
у по х через производные от у по t . Имеем:
,
.
Подставляя найденные выражения производных в данное уравнение и заменяя х через , получим:
Пример. Преобразовать уравнение
,
приняв за аргумент у , а за функцию х.
Решение. Выразим производные от у по х через производные от х по у.
.
Подставив эти выражения производных в данное уравнение, будем иметь:
,
или, окончательно,
.
Пример . Преобразовать уравнение
перейдя к полярным координатам
|
x=r cos φ, y=r cos φ. |
Решение. Рассматривая r как функцию φ , из формул (1) получим:
dх = соsφ dr – r sinφ d φ, dy=sinφ+r cosφ dφ,
Производная сложной функции. Полная производная
Пусть z=ƒ(х;у) - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z = f(x(t);y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у - промежуточные переменные.
Если z = ƒ(х;у) - дифференцируемая в точке М(х;у) є D функция и х = x(t) и у = y(t) - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле
Дадим независимой переменной t приращение Δt. Тогда функции х = = x(t) и у = y{t) получат приращения Δх и Δу соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение Az функции z.
Так как по условию функция z - ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х; у), то ее полное приращение можно представить в виде
где а→0, β→0 при Δх→0, Δу→0 (см. п. 44.3). Разделим выражение Δz на Δt и перейдем к пределу при Δt→0. Тогда Δх→0 и Δу→0 в силу непрерывности функций х = x(t) и у = y(t) (по условию теоремы - они дифференцируемые). Получаем:
Частный случай: z=ƒ(х;у), где у=у(х), т. е. z=ƒ(х;у(х)) - сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (44.8) имеем:
Формула (44.9) носит название формулы полной производной.
Общий случай: z=ƒ(х;у), где x=x(u;v), у=у(u;v). Тогда z= f(x(u;v);y(u;v)) - сложная функция независимых переменных u и v. Ее частные производные можно найти, используя формулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней соответствующими частными производными 