Теорема ферма когда доказана. Доказательство теоремы Ферма — элементарное, простое, понятное. Как связаны гипотеза Таниямы и теорема Ферма
В 17 веке во Франции жил юрист и по совместительству математик Пьер Ферма, который отдавал своему увлечению долгие часы досуга. Как-то зимним вечером, сидя у камина, он выдвинул одно прелюбопытнейшее утверждение из области теории чисел – именно оно в дальнейшем было названо Великой или Большой теоремой Ферма. Возможно, ажиотаж не был бы настолько весомым в математических кругах, не случись одно событие. Математик часто проводил вечера за штудированием любимой книги Диофанта Александрийского «Арифметика» (3 век), при этом записывал на ее полях важные мысли – этот раритет бережно сохранил для потомков его сын. Так вот, на широких полях этой книги рукой Ферма была оставлена такая надпись: «У меня есть довольно поразительное доказательство, но оно слишком большое, чтобы его можно было поместить на полях». Именно эта запись стала причиной ошеломительного ажиотажа вокруг теоремы. У математиков не вызывало сомнений, что великий ученый заявил о том, что доказал собственную теорему. Вы наверняка задаетесь вопросом: «Неужели он на самом деле ее доказал, или это была банальная ложь, а может есть другие версии, зачем эта запись, не дававшая умиротворенно спать математикам последующих поколений, оказалась на полях книги?».
Суть Великой теоремы
Довольно известная теорема Ферма проста по своей сути и заключается в том, что при условии, когда n больше двойки, положительного числа, уравнение Х n +Y n =Z n не будет иметь решений нулевого типа в рамках натуральных чисел. В этой с виду простой формуле была замаскирована невероятная сложность, и на ее доказательством бились целых три века. Есть одна странность – теорема опоздала с рождением на свет, так как ее частный случай при n=2 появился еще 2200 лет тому назад – это не менее знаменитая теорема Пифагора.
Необходимо отметить, что история, касающаяся всем известной теоремы Ферма, является очень поучительной и занимательной, причем не только для ученых-математиков. Что самое интересное, так это то, что наука являлась для ученого не работой, а простым хобби, которое в свою очередь, доставляла Фермеру огромное удовольствие. Также он постоянно поддерживал связь с ученым-математиком, а по совместительству, еще и другом, делился идеями, но как ни странно, собственные работы опубликовывать в свет не стремился.
Труды математика Фермера
Что касается самих работ Фермера, то их обнаружили именно в форме обычных писем. Местами не было целых страниц, и сохранились лишь обрывки переписок. Более интересен тот факт, что на протяжении трех веков ученые искали ту теорему, которая была обнаружена в трудах Фермера.
Но кто бы не решался ее доказать, попытки сводились к «нулю». Известный математик Декарт и вовсе обвинял ученого в хвастовстве, но все это сводилось лишь к самой обычной зависти. Помимо создания, Фермер еще и доказал собственную теорему. Правда решение было найдено для того случая, где n=4. Что касается случая для n=3, то его выявил математик Эйлер.
Как пытались доказать теорему Фермера
В самом начале 19 века данная теорема продолжила свое существование. Математики нашли много доказательств теорем, которые ограничивались натуральными числами в пределах двухсот.
А в 1909 году была поставлена на кон довольно крупная сумма, равная ста тысячам маркам немецкого происхождения – и все это только лишь за то, чтобы решить вопрос, связанный с этой теоремой. Сам фонд призовой категории был оставлен богатым любителем математики Паулем Вольфскелем, родом из Германии, кстати, именно он хотел «наложить на себя руки», но благодаря такой вовлеченности в теорему Фермера, захотел жить. Возникший ажиотаж породил тонны «доказательств», заполонивших германские университеты, а в кругу математиков родилось прозвище «фермист», которым полупрезрительно называли всякого амбициозного выскочку, не сумевшего привести явные доказательства.
Гипотеза японского математика Ютаки Танияма
Сдвигов в истории Великой теоремы до середины 20 столетия так и не наблюдалось, но одно занимательное событие все-таки произошло. В 1955 году математик из Японии Ютака Танияма, которому было 28 лет, явил миру утверждение из абсолютно другой математической области – его гипотеза в отличие от Ферма опередило свое время. Она гласит: «Каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма». Вроде бы абсурд для каждого математика, подобно, что дерево состоит из определенного металла! Парадоксальную гипотезу, как и большинство прочих ошеломляющих и гениальных открытий, не приняли, так как еще попросту не доросли до нее. И Ютака Танияма покончил жизнь самоубийством, спустя три года – поступок необъяснимый, но, вероятно, честь для истинного гения-самурая была превыше всего.
Целое десятилетие о гипотезе не вспоминали, но в семидесятые она поднялась на пик популярности – ее подтверждали все, кто мог в ней разобраться, но, как и теорема Ферма, она оставалась недоказанной.
Как связаны гипотеза Таниямы и теорема Ферма
Спустя 15 лет в математике произошло ключевое событие, и оно объединило гипотезу прославленного японца и теорему Ферма. Герхард Грей заявил, что когда будет доказана гипотеза Танияма, тогда и найдутся доказательства теоремы Ферма. То есть последняя – это следствие гипотезы Танияма, и уже через полтора года профессором университета в Калифорнии Кеннетом Рибетом теорема Ферма была доказана.
Шло время, регресс заменялся прогрессом, а наука стремительно продвигалась вперед, особенно в области компьютерных технологий. Таким образом, значение n стало все больше повышаться.
В самом конце 20 века самые мощные компьютеры находились в лабораториях военного направления, было осуществлено программирование на вывод решения задачи всем известного Ферма. Как следствие всем попыткам было выявлено то, что данная теорема правильная для многих значений n, x, y. Но, к сожалению, окончательным доказательством это не стало, так как не было конкретики как таковой.
Джон Уайлс доказал великую Теорему Ферма
И вот, наконец, только в конце 1994 года, математик из Англии, Джон Уайлс нашел и продемонстрировал точное доказательство спорной теоремы Фермера. Тогда, после множества доработок, дискуссии по этому поводу пришли к своему логическому завершению.
Опровержение было размещено на более ста страницах одного журнала! Причем теорема была доказана на более современном аппарате высшей математики. И что удивительно, на тот момент, когда Фермер писал свой труд, такого аппарата в природе не существовало. Словом, человек был признан гением в этой области, с чем поспорить не мог никто. Несмотря на все что было, на сегодняшний день можно быть уверенными в том, что представленная теорема великого ученого Фермера оправдана и доказана, и споры и на эту тему не заведет ни одни математик со здравым смыслом, с чем согласны даже самые заядлые скептики всего человечества.
Полное имя человека, в честь которого была названа представленная теорема, звали Пьер де Фермер. Он внес свой вклад в самые разнообразные области математики. Но, к сожалению, большинство его трудов были опубликованы только после его смерти.
НОВОСТИ НАУКИ И ТЕХНИКИ
УДК 51:37;517.958
А.В. Коновко, к.т.н.
Академия государственной противопожарной службы МЧС России ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА ДОКАЗАНА. ИЛИ НЕТ?
В течение нескольких столетий доказать, что уравнение xn+yn=zn при n>2 неразрешимо в рациональных, а значит, и целых числах не удавалось. Родилась эта задача под авторством французского юриста Пьера Ферма, который параллельно профессионально занимался математикой. Её решение признаётся за американским учителем математики Эндрю Уайлсом. Это признание длилось с 1993 по 1995 г.
THE GREAT FERMA"S THEOREM IS PROVED. OR NO?
The dramatic history of Fermat"s last theorem proving is considered. It took almost four hundred years. Pierre Fermat wrote little. He wrote in compressed style. Besides he did not publish his researches. The statement that equation xn+yn=zn is unsolvable on sets of rational numbers and integers if n>2 was attended by Fermat"s commentary that he has found indeed remarkable proving to this statement. The descendants were not reached by this proving. Later this statement was called Fermat"s last theorem. The world best mathematicians broke lance over this theorem without result. In the seventies the French mathematician member of Paris Academy of Sciences Andre Veil laid down new approaches to the solution. In 23 of June, in 1993, at theory of numbers conference in Cambridge, the mathematician of Princeton University Andrew Whiles announced that the Fermat"s last theorem proving is gotten. However it was early to triumph.
В 1621 году французским литератором и любителем математики Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком был издан греческий трактат "Арифметики" Диофанта с латинским переводом и комментариями. Роскошная, с необыкновенно широкими полями "Арифметика", попала в руки двадцатилетнему Ферма и на долгие годы стала его настольной книгой. На ее полях он оставил 48 замечаний, содержащих открытые им факты о свойствах чисел. Здесь же, на полях "Арифметики" была сформулирована великая теорема Ферма: "Невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же показателем; я нашел этому поистине чудесное доказательство, которое из-за недостатка места не может поместиться на этих полях". Кстати, на латыни -это выглядит таким образом: «Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet».
Великий французский математик Пьер Ферма (1601-1665) развил метод определения площадей и объемов, создал новый метод касательных и экстремумов. Наряду с Декартом он стал создателем аналитической геометрии, вместе с Паскалем стоял у истоков теории вероятностей, в области метода бесконечно малых дал общее правило дифференцирования и доказал в общем виде правило интегрирования степенной функции... Но, главное, с этим именем связана одна из самых загадочных и драматичных историй, когда-либо потрясавших математику - история доказательства великой теоремы Ферма. Сейчас эту теорему выражают в виде простого утверждения: уравнение xn + yn = zn при n>2 неразрешимо в рациональных, а значит, и целых числах. Кстати, для случая n = 3 эту теорему в X веке пытался доказать среднеазиатский математик Ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось.
Уроженец юга Франции, Пьер Ферма получил юридическое образование и с 1631 состоял советником парламента города Тулузы (т.е. высшего суда). После рабочего дня в стенах парламента, он принимался за математику и тут же погружался в совершенно другой мир. Деньги, престиж, общественное признание - все это не имело для него никакого значения. Наука никогда не становилась для него заработком, не превращалась в ремесло, всегда оставаясь лишь захватывающей игрой ума, понятной лишь единицам. С ними он и вел свою переписку.
Ферма никогда не писал научных работ в нашем привычном понимании. А в его переписке с друзьями всегда присутствует некоторый вызов, даже своеобразная провокация, а отнюдь не академическое изложение проблемы и ее решения. Потому многие из его писем впоследствии так и стали именоваться: вызовом.
Быть может, именно поэтому он так и не осуществил своего намерения написать специальное сочинение по теории чисел. А между тем это была его любимейшая область математики. Именно ей Ферма посвятил самые вдохновенные строки своих писем. "Арифметика, - писал он, - имеет свою собственную область, теорию целых чисел. Эта теория была лишь слегка затронута Евклидом и не была достаточно разработана его последователями (если только она не содержалась в тех работах Диофанта, которых нас лишило разрушительное действие времени). Арифметики, следовательно, должны ее развить и возобновить".
Отчего же сам Ферма не боялся разрушительного действия времени? Писал он мало и всегда очень сжато. Но, самое главное, он не публиковал свои работы. При его жизни они циркулировали лишь в рукописях. Не удивительно поэтому, что результаты Ферма по теории чисел дошли до нас в разрозненном виде. Но, вероятно, прав был Булгаков: великие рукописи не горят! Работы Ферма остались. Они остались в его письмах к друзьям: лионскому учителю математики Жаку де Билли, сотруднику монетного двора Бернар Френикель де Бесси, Марсенни, Декарту, Блез Паскалю... Осталась "Арифметика" Диофанта с его замечаниями на полях, которые после смерти Ферма, вошли вместе с комментариями Баше в новое издание Диофанта, выпущенное старшим сыном Самюэлем в 1670 году. Не сохранилось только самого доказательства.
За два года до смерти Ферма отправил своему другу Каркави письмо-завещание, которое вошло в историю математики под названием «Сводка новых результатов в науке о числах». В этом письме Ферма доказал свое знаменитое утверждение для случая п = 4. Но тогда его интересовало, скорее всего, не само утверждение, а открытый им метод доказательств, названный самим Ферма бесконечным или неопределенным спуском.
Рукописи не горят. Но, если бы не самоотверженность Самюэля, собравшего после смерти отца все его математические наброски и небольшие трактаты, а затем издавшего их в 1679 году под названием «Разные математические сочинения», ученым математикам многое бы пришлось открывать и переоткрывать заново. Но и после их издания проблемы, поставленные великим математиком, пролежали без движения более семидесяти лет. И это не удивительно. В том виде, в каком они появились в печати, теоретико-числовые результаты П. Ферма предстали перед специалистами в виде серьезных, далеко не всегда понятных современникам проблем, почти без доказательств, и указаний на внутренние логические связи между ними. Возможно, в отсутствии стройной, продуманной теории и кроется ответ на вопрос, отчего сам Ферма так и не собрался издать книгу по теории чисел. Через семьдесят лет этими работами заинтересовался Л. Эйлер, и это было воистину их вторым рождением...
Математика дорого заплатила за своеобразную манеру Ферма излагать свои результаты, как будто специально опуская их доказательства. Но, если уж Ферма утверждал, что доказал ту или иную теорему, то впоследствии эту теорему обязательно доказывали. Однако с великой теоремой получилась заминка.
Загадка всегда будоражит воображение. Целые континенты покорила загадочная улыбка Джоконды; теория относительности, как ключ к загадке пространственно-временных связей стала самой популярной физической теорией века. И можно смело утверждать, что не было другой такой математической проблемы, которая была бы столь популярна, как вели__93
Научные и образовательные проблемы гражданской защиты
кая теорема Ферма. Попытки доказать ее привели к созданию обширного раздела математики - теории алгебраических чисел, но (увы!) сама теорема оставалась недоказанной. В 1908 году немецкий математик Вольфскель завещал 100000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. Это была огромная по тем временам сумма! В один момент можно было стать не только знаменитым, но и сказочно разбогатеть! Не удивительно поэтому, что гимназисты даже далекой от Германии России наперебой бросились доказывать великую теорему. Что уж говорить о профессиональных математиках! Но...тщетно! После Первой мировой войны деньги обесценились, и поток писем с псевдодоказательствами начал иссякать, хотя совсем, конечно, так и не прекратился. Рассказывают, что известный немецкий математик Эдмунд Ландау заготовлял печатные формуляры для рассылки авторам доказательств теоремы Ферма: "На стр. ... , в строке... имеется ошибка". (Находить ошибку поручалось доценту.) Курьезов и анекдотов, связанных с доказательством этой теоремы, набралось столько, что из них можно было бы составить книгу. Последним анекдотом выглядит детектив А. Марининой «Стечение обстоятельств», экранизированный и прошедший по телеэкранам страны в январе 2000 года. В нем недоказанную всеми своими великими предшественниками теорему доказывает наш с вами соотечественник и претендует за это на Нобелевскую премию. Как известно, изобретатель динамита проигнорировал в своем завещании математиков, так что автор доказательства мог претендовать разве что на Филдсовскую золотую медаль - высшую международную награду, утвержденную самими математиками в 1936 году.
В классической работе выдающегося отечественного математика А.Я. Хинчина, посвященной великой теореме Ферма, даются сведения по истории этой проблемы и уделяется внимание методу, которым мог пользоваться Ферма при доказательстве своей теоремы. Приводятся доказательство для случая п = 4 и краткий обзор других важнейших результатов.
Но к моменту написания детектива, а тем более, к моменту его экранизации общее доказательство теоремы было уже найдено. 23 июня 1993 года на конференции по теории чисел в Кембридже математик из Принстона Эндрю Уайлс анонсировал, что доказательство великой теоремы Ферма получено. Но совсем не так, как «обещал» сам Ферма. Тот путь, по которому пошел Эндрю Уайлс, основывался отнюдь не на методах элементарной математики. Он занимался так называемой теорией эллиптических кривых.
Чтобы получить представление об эллиптических кривых, необходимо рассмотреть плоскую кривую, заданную уравнением третьей степени
У(х,у) = а30Х + а21х2у+ ... + а1х+ а2у + а0 = 0. (1)
Все такие кривые разбиваются на два класса. К первому классу относятся те кривые, у которых имеются точки заострения (как, например, полукубическая парабола у2 = а2-Х с точкой заострения (0; 0)), точки самопересечения (как Декартов лист х3+у3-3аху = 0, в точке (0; 0)), а также кривые, для которых многочлен Дх,у) представляется в виде
f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),
где ^(х,у) и ^(х,у) - многочлены меньших степеней. Кривые этого класса называются вырожденными кривыми третьей степени. Второй класс кривых образуют невырожденные кривые; мы будем называть их эллиптическими. К таковым может быть отнесен, например, Локон Аньези (х2 + а2)у - а3 = 0). Если коэффициенты многочлена (1) - рациональные числа, то эллиптическая кривая может быть преобразована к так называемой канонической форме
у2= х3 + ах +Ь. (2)
В 1955 году японскому математику Ю. Танияме (1927-1958) в рамках теории эллиптических кривых удалось сформулировать гипотезу, которая открыла путь для доказательства теоремы Ферма. Но об этом не подозревал тогда ни сам Танияма, ни его коллеги. Почти двадцать лет эта гипотеза не привлекала к себе серьезного внимания и стала популярной лишь в середине 70-х годов. В соответствии с гипотезой Таниямы всякая эллиптическая
кривая с рациональными коэффициентами является модулярной. Однако пока что формулировка гипотезы мало говорит дотошному читателю. Потому потребуются некоторые определения.
С каждой эллиптической кривой можно связать важную числовую характеристику - ее дискриминант. Для кривой, заданной в канонической форме (2), дискриминант А определяется формулой
А = -(4а + 27b2).
Пусть Е - некоторая эллиптическая кривая, заданная уравнением (2), где а и b - целые числа.
Для простого числа р рассмотрим сравнение
y2 = х3 + ах + b(mod p), (3)
где а и b - остатки от деления целых чисел а и b на р, и обозначим через np число решений этого сравнения. Числа пр очень полезны при исследовании вопроса о разрешимости уравнений вида (2) в целых числах: если какое-то пр равно нулю, то уравнение (2) не имеет целочисленных решений. Однако вычислить числа пр удается лишь в редчайших случаях. (В то же время известно, что р-п| < 2Vp (теоремаХассе)).
Рассмотрим те простые числа р, которые делят дискриминант А эллиптической кривой (2). Можно доказать, что для таких р многочлен х3 + ах + b можно записать одним из двух способов:
х3 + ах + b = (х + а)2 (х + ß)(mod Р)
х3 + ах + b = (х + у)3 (mod p),
где а, ß, у - некоторые остатки от деления на р. Если для всех простых р, делящих дискриминант кривой, реализуется первая из двух указанных возможностей, то эллиптическая кривая называется полустабильной.
Простые числа, делящие дискриминант, можно объединить в так называемый кондуктор эллиптической кривой. Если Е - полустабильная кривая, то ее кондуктор N задается формулой
где для всех простых чисел p > 5, делящих А, показатель еР равен 1. Показатели 82 и 83 вычисляются с помощью специального алгоритма.
По существу - это всё, что необходимо для понимания сути доказательства. Однако в гипотезе Таниямы присутствует непростое и в нашем случае ключевое понятие модулярности. Поэтому забудем на время об эллиптических кривых и рассмотрим аналитическую функцию f (т.е. ту функцию, которая может быть представлена степенным рядом) комплексного аргумента z, заданного в верхней полуплоскости.
Обозначим через Н верхнюю комплексную полуплоскость. Пусть N - натуральное и к - целое числа. Модулярной параболической формой веса к уровня N называется аналитическая функцияf(z), заданная в верхней полуплоскости и удовлетворяющая соотношению
f = (cz + d)kf (z) (5)
для любых целых чисел а, b, с, d таких, что аё - bc = 1 и с делится на N. Кроме того, предполагается, что
lim f (r + it) = 0,
где r - рациональное число, и что
Пространство модулярных параболических форм веса k уровня N обозначается через Sk(N). Можно показать, что оно имеет конечную размерность.
В дальнейшем нас будут особо интересовать модулярные параболические формы веса 2. Для малых N размерность пространства S2(N) представлена в табл. 1. В частности,
Размерности пространства S2(N)
Таблица 1
N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2
Из условия (5) следует, что % + 1) = для каждой формы f е S2(N). Стало быть, f является периодической функцией. Такую функцию можно представить в виде
Назовем модулярную параболическую форму А^) в S2(N) собственной, если ее коэффициенты - целые числа, удовлетворяющие соотношениям:
а г ■ а = а г+1 ■ р ■ с Г_1 для простого р, не делящего число N; (8)
(ap) для простого р, делящего число N;
атп = ат ап, если (т,п) = 1.
Сформулируем теперь определение, играющее ключевую роль в доказательстве теоремы Ферма. Эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами и кондуктором N называется модулярной, если найдется такая собственная форма
f (z) = ^anq" g S2(N),
что ар = р - пр для почти всех простых чисел р. Здесь пр - число решений сравнения (3).
Трудно поверить в существование хотя бы одной такой кривой. Представить, что найдется функция А(г), удовлетворяющая перечисленным жестким ограничениям (5) и (8), которая разлагалась бы в ряд (7), коэффициенты которой были бы связаны с практически невычислимыми числами Пр, довольно сложно. Но смелая гипотеза Таниямы отнюдь не ставила под сомнение факт их существования, а накопленный временем эмпирический материал блестяще подтвердил ее справедливость. После двух десятилетий почти полного забвения гипотеза Таниямы получила в работах французского математика, члена Парижской Академии наук Андре Вейля как бы второе дыхание.
Родившийся в 1906 году А. Вейль стал со временем одним из основателей группы математиков, выступавших под псевдонимом Н. Бурбаки. С 1958 года А. Вейль становится профессором Принстонского института перспективных исследований. И к этому же периоду относится возникновение его интереса к абстрактной алгебраической геометрии. В семидесятые годы он обращается к эллиптическим функциям и гипотезе Таниямы. Монография, посвященная эллиптическим функциям, была переведена у нас, в России . В своем увлечении он не одинок. В 1985 году немецкий математик Герхард Фрей предположил, что если теорема Ферма неверна, то есть если найдется такая тройка целых чисел а, Ь, с, что а" + Ьп = = с" (п > 3), то эллиптическая кривая
у2 = х (х - а")-(х - сп)
не может быть модулярной, что противоречит гипотезе Таниямы. Самому Фрею не удалось доказать это утверждение, однако вскоре доказательство было получено американским математиком Кеннетом Рибетом. Другими словами, Рибет показал, что теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы.
Он сформулировал и доказал следующую теорему:
Теорема 1 (Рибет). Пусть Е - эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами, имеющая дискриминант
и кондуктор
Предположим, что Е является модулярной, и пусть
/ (г) = q + 2 аАп е ^ (N)
есть соответствующая собственная форма уровня N. Фиксируем простое число £, и
р:еР =1;- " 8 р
Тогда существует такая параболическая форма
/(г) = 2 dnqn е N)
с целыми коэффициентами, что разности ап - dn делятся на I для всех 1 < п<ад.
Ясно, что если эта теорема доказана для некоторого показателя, то тем самым она доказана и для всех показателей, кратных п. Так как всякое целое число п > 2 делится или на 4, или на нечетное простое число, то можно поэтому ограничиться случаем, когда показатель равен либо 4, либо нечетному простому числу. Для п = 4 элементарное доказательство теоремы Ферма было получено сначала самим Ферма, а потом Эйлером. Таким образом, достаточно изучить уравнение
а1 + Ь1 =с1, (12)
в котором показатель I есть нечетное простое число.
Теперь теорему Ферма можно получить простыми вычислениями (2).
Теорема 2. Из гипотезы Таниямы для полустабильных эллиптических кривых следует последняя теорема Ферма.
Доказательство. Предположим, что теорема Ферма неверна, и пусть есть соответствующий контрпример (как и выше, здесь I - нечетное простое число). Применим теорему 1 к эллиптической кривой
у2 = х (х - ае) (х - с1).
Несложные вычисления показывают, что кондуктор этой кривой задается формулой
Сравнивая формулы (11) и (13), мы видим, что N = 2. Следовательно, по теореме 1 найдется параболическая форма
лежащая в пространстве 82(2). Но в силу соотношения (6) это пространство нулевое. Поэтому dn = 0 для всех п. В то же время а^ = 1. Стало быть, разность аг - dl = 1 не делится на I и мы приходим к противоречию. Таким образом, теорема доказана.
Эта теорема давала ключ к доказательству великой теоремы Ферма. И все же сама гипотеза оставалась все ещё недоказанной.
Анонсировав 23 июня 1993 года доказательство гипотезы Таниямы для полустабильных эллиптический кривых, к которым относятся и кривые вида (8), Эндрю Уайлс поторопился. Математикам было рано праздновать победу.
Быстро закончилось теплое лето, осталась позади дождливая осень, наступила зима. Уайлс писал и переписывал набело окончательный вариант своего доказательства, но дотошные коллеги находили в его работе все новые и новые неточности. И вот, в начале декабря 1993 года, за несколько дней до того, как рукопись Уайлса должна была пойти в печать, в его доказательстве были вновь обнаружены серьезные пробелы. И тогда Уайлс понял, что за день-два он уже не сможет ничего исправить. Здесь требовалась серьезная доработка. Публикацию работы пришлось отложить. Уайлс обратился за помощью к Тейлору. «Работа над ошибками» заняла больше года. Окончательный вариант доказательства гипотезы Таниямы, написанный Уайлсом в сотрудничестве с Тейлором, вышел в свет лишь летом 1995 года.
В отличие от героя А. Марининой Уайлс не претендовал на Нобелевскую премию, но, все же... какой-то наградой его должны были отметить. Вот только какой? Уайлсу в то время уже перевалило на пятый десяток, а золотые медали Филдса вручаются строго до сорока лет, пока еще не пройден пик творческой активности. И тогда для Уайлса решили учредить специальную награду - серебряный знак Филдсовского комитета. Этот знак и был вручен ему на очередном конгрессе по математике в Берлине.
Из всех проблем, способных с большей или меньшей вероятностью занять место великой теоремы Ферма, наибольшие шансы имеет проблема плотнейшей упаковки шаров. Проблему плотнейшей упаковки шаров можно сформулировать как задачу о том, как наиболее экономно сложить из апельсинов пирамиду. Молодым математикам такая задача досталась в наследство от Иоганна Кеплера. Проблема родилась в 1611 году, когда Кеплер написал небольшое сочинение «О шестиугольных снежинках». Интерес Кеплера к расположению и самоорганизации частиц вещества и привел его к обсуждению другого вопроса - о плотней-шей упаковке частиц, при которой они занимают наименьший объем. Если предположить, что частицы имеют форму шаров, то ясно, что как бы они ни располагались в пространстве, между ними неизбежно останутся зазоры, и вопрос состоит в том, чтобы объем зазоров свести к минимуму. В работе , например, утверждается (но не доказывается), что такой формой является тетраэдр, оси координат внутри которого определяют базисный угол ортогональности в 109о28", а не 90о. Эта проблема имеет огромное значение для физики элементарных частиц, кристаллографии и др. разделов естествознания.
Литература
1. Вейль А. Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру. - М., 1978.
2. Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма // Соросовский образовательный журнал. - № 2. - 1998. - С. 78-95.
3. Сингх С. Великая теорема Ферма. История загадки, которая занимала лучшие умы мира на протяжении 358 лет / Пер. с англ. Ю.А. Данилова. М.: МЦНМО. 2000. - 260 с.
4. Мирмович Э.Г., Усачёва Т.В. Алгебра кватернионов и трёхмерные вращения // Настоящий журнал № 1(1), 2008. - С. 75-80.
Что премию Абеля в 2016 году получит Эндрю Уайлз за доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры для полустабильных эллиптических кривых и следующее из этой гипотезы доказательство великой теоремы Ферма. В настоящее время премия составляет 6 миллионов норвежских крон, то есть примерно 50 миллионов рублей. По словам Уайлса, присуждение премии стало для него «полной неожиданностью».
Теорема Ферма, доказанная более 20 лет назад, до сих пор привлекает внимание математиков. Отчасти, это связано с ее формулировкой, которая понятна даже школьнику: доказать, что для натуральных n>2 не существует таких троек целых ненулевых чисел, что a n + b n = c n . Это выражение Пьер Ферма записал на полях «Арифметики» Диофанта, снабдив замечательной подписью «Я нашёл этому поистине чудесное доказательство [этого утверждения], но поля книги слишком узки для него». В отличие от большинства математических баек, эта - настоящая.
Вручение премии - прекрасный повод вспомнить десять занимательных историй, связанных с теоремой Ферма.
1.
До того, как Эндрю Уайлз доказал теорему Ферма, ее правильнее было называть гипотезой, то есть гипотезой Ферма. Дело в том, что теорема - это по определению уже доказанное утверждение. Однако, почему-то к этому утверждению приклеилось именно такое название.
2.
Если в теореме Ферма положить n = 2, то у такого уравнения существует бесконечно много решений. Эти решения называются «пифагоровы тройки». Такое название они получили потому, что им соответствуют прямоугольные треугольники, стороны которых выражаются именно такими наборами чисел. Генерировать пифагоровы тройки можно с помощью таких вот трех формул (m 2 - n 2 , 2mn, m 2 + n 2). В эти формулы надо подставлять разные значения m и n, и в результате будут получаться нужные нам тройки. Главное тут, впрочем, убедиться, что полученные числа будут больше нуля - длины не могут выражаться отрицательными числами.
Кстати, легко заметить, что если все числа в пифагоровой тройке умножить на некоторое ненулевое, получится новая пифагорова тройка. Поэтому разумно изучать тройки, в которых у трех чисел в совокупности нет общего делителя. Схема, которую мы описали, позволяет получить все такие тройки - это уже совсем не простой результат.
3.
1 марта на 1847 года заседании Парижской академии наук сразу два математика - Габриэль Ламе и Огюстен Коши - объявили, что находятся на пороге доказательства замечательной теоремы. Они устроили гонку, публикуя кусочки доказательства. Большинство академиков болело за Ламе, поскольку Коши был самодовольным, нетерпимым к чужому мнению религиозным фанатиком (и, разумеется, совершенно блестящим математиком по совместительству). Однако, матчу не суждено было завершиться - через своего друга Жозефа Лиувилля немецкий математик Эрнст Куммер сообщил академикам, что в доказательствах Коши и Ламе есть одна и та же ошибка.
В школе доказывается, что разложение числа на простые множители единственно. Оба математика полагали, что если смотреть на разложение целых чисел уже в комплексном случае, то это свойство - единственность - сохранится. Однако это не так.
Примечательно, что если рассматривать только m + i n, то разложение единственно. Такие числа называются гауссовыми. Но для работы Ламе и Коши потребовалось разложение на множители в циклотомических полях . Это, например, числа, в которых m и n - рациональные, а i удовлетворяет свойству i^k = 1.
4.
Теорема Ферма для n = 3 имеет понятный геометрический смысл. Представим себе, что у нас есть много маленьких кубиков. Пусть мы собрали из них два больших куба. В этом случае, понятное дело, стороны будут целыми числами. Можно ли найти два таких больших куба, что, разобрав их на составляющие мелкие кубы, мы бы могли собрать из них один большой куб? Теорема Ферма говорит, что так сделать никогда нельзя. Забавно, что если задать тот же вопрос для трех кубов, то ответ утвердительный. Например, есть вот такая четверка чисел, открытая замечательным математиком Шринивасом Рамануджаном:
3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3
5.
В истории с теоремой Ферма отметился Леонард Эйлер. Доказать утверждение (или даже подступиться к доказательству) у него толком не получилось, однако он сформулировал гипотезу о том, что уравнение
x 4 + y 4 + z 4 = u 4
не имеет решения в целых числах. Все попытки найти решение такого уравнения в лоб оказались безрезультатны. Только в 1988 году Науму Элкиесу из Гарварда удалось найти контрпример. Он выглядит вот так:
2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .
Обычно эту формулу вспоминают в контексте численного эксперимента. Как правило, в математике это выглядит так: есть некоторая формула. Математик проверяет эту формулу в простых случаях, убеждается в истинности и формулирует некоторую гипотезу. Затем он (хотя чаще какой-нибудь его аспирант или студент) пишет программу для того, чтобы проверить, что формула верна для достаточно больших чисел, которые руками не посчитать (про один такой эксперимент с простыми числами мы ). Это не доказательство, конечно, но отличный повод заявить о гипотезе. Все эти построения базируются на разумном предположении, что, если к некоторой разумной формуле есть контрпример, то мы найдем его достаточно быстро.
Гипотеза Эйлера напоминает, что жизнь гораздо разнообразнее наших фантазий: первый контрпример может быть сколь угодно большим.
6.
На самом деле, конечно, Эндрю Уайлз не пытался доказать теорему Ферма - он решал более сложную задачу под названием гипотеза Таниямы-Шимуры. В математике есть два замечательных класса объектов. Первый называется модулярными формами и представляет собой по сути функции на пространстве Лобачевского. Эти функции не меняются при движениях этой самой плоскости. Второй называется «эллиптическими кривыми и представляет собой кривые, задаваемые уравнением третьей степени на комплексной плоскости. Оба объекта очень популярны в теории чисел.
В 50-х годах прошлого века два талантливых математика Ютака Танияма и Горо Шимура познакомились в библиотеке Токийского университета. В то время особой математики в университете не было: она просто не успела восстановиться после войны. В результате ученые занимались по старым учебникам и разбирали на семинарах задачи, которые в Европе и США считались решенными и не особенно актуальными. Именно Танияма и Шимура обнаружили, что между модулярными формами и эллиптическими функциями есть некое соответствие.
Свою гипотезу они проверили на некоторых простых классах кривых. Оказалось, что она работает. Вот они и предположили, что эта связь есть всегда. Так появилась гипотеза Таниямы-Шимуры, а спустя три года Танияма покончил с собой. В 1984 году немецкий математик Герхард Фрей показал, что если теорема Ферма неверна, то, следовательно, неверна гипотеза Таниямы-Шимуры. Из этого вытекало, что доказавший эту гипотезу, докажет и теорему. Именно это и сделал - правда не совсем в общем виде - Уайлз.
7.
На доказательство гипотезы Уайлз потратил восемь лет. И во время проверки рецензенты нашли в ней ошибку, которая «убивала» большую часть доказательства, сводя на нет все годы работы. Один из рецензентов по имени Ричард Тейлор взялся заделать вместе с Уайлзом эту дырку. Пока они работали, появилось сообщение, что Элкиес, тот самый, который нашел контрпример к гипотезе Эйлера, нашел и контрпример и к теореме Ферма (позже оказалось, что это была первоапрельская шутка). Уайлз впал в депрессию и не хотел продолжать - дырка в доказательстве никак не закрывалась. Тейлор уговорил Уайлза побороться еще месяц.
Случилось чудо и к концу лета математикам удалось сделать прорыв - так на свет появились работы «Модулярные эллиптические кривые и великая теорема Ферма» Эндрю Уайлза (pdf) и «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» Ричарда Тейлора и Эндрю Уайлза. Это было уже правильное доказательство. Опубликовано оно было в 1995 году.
8.
В 1908 году в Дармштадте скончался математик Пауль Вольфскель. После себя он оставил завещание, в котором давал математическому сообществу 99 лет, чтобы найти доказательство великой теоремы Ферма. Автор доказательства должен был получить 100 тысяч марок (автор контрпримера, кстати, не получил бы ничего). Согласно распространенной легенде, сделать такой подарок математикам Вольфскеля побудила любовь. Вот как описывает легенду Саймон Сингх в своей книге «Великая теорема Ферма »:
История начинается с того, что Вольфскель увлекся красивой женщиной, личность которой так никогда и не была установлена. К великому сожалению для Вольфскеля, загадочная женщина отвергла его. Он впал в такое глубокое отчаяние, что решил совершить самоубийство. Вольфскель был человеком страстным, но не импульсивным, и поэтому принялся во всех подробностях разрабатывать свою смерть. Он назначил дату своего самоубийства и решил выстрелить себе в голову с первым ударом часов ровно в полночь. За оставшиеся дни Вольфскель решил привести в порядок свои дела, которые шли великолепно, а в последний день составил завещание и написал письма близким друзьям и родственникам.
Вольфскель трудился с таким усердием, что закончил все свои дела до полуночи и, чтобы как-нибудь заполнить оставшиеся часы, отправился в библиотеку, где стал просматривать математические журналы. Вскоре ему на глаза попалась классическая статья Куммера, в которой тот объяснял, почему потерпели неудачу Коши и Ламе. Работа Куммера принадлежала к числу самых значительных математических публикаций своего века и как нельзя лучше подходила для чтения математику, задумавшему совершить самоубийство. Вольфскель внимательно, строка за строкой, проследил за выкладками Куммера. Неожиданно Вольфскелю показалось, что он обнаружил пробел: автор сделал некое предположение и не обосновал этот шаг в своих рассуждениях. Вольфскель заинтересовался, действительно ли ему удалось обнаружить серьезный пробел, или сделанное Куммером предположение было обоснованным. Если был обнаружен пробел, то имелся шанс, что Великую теорему Ферма удастся доказать гораздо проще, чем полагали многие.
Вольфскель сел за стол, тщательно проанализировал «ущербную» часть рассуждений Куммера и принялся набрасывать минидоказательство, которое должно было либо подкрепить работу Куммера, либо продемонстрировать ошибочность принятого им предположения и, как следствие, опровергнуть все его доводы. К рассвету Вольфскель закончил свои вычисления. Плохие (с точки зрения математики) новости состояли в том, что доказательство Куммера удалось исцелить, и Великая теорема Ферма по-прежнему осталась недоступной. Но были и хорошие новости: время, назначенное для самоубийства, миновало, а Вольфскель был так горд тем, что ему удалось обнаружить и восполнить пробел в работе великого Эрнеста Куммера, что его отчаяние и печаль развеялись сами собой. Математика вернула ему жажду жизни.
Впрочем, есть и альтернативная версия. Согласно ей, Вольфскель занялся математикой (и, собственно, теоремой Ферма) из-за прогрессирующего рассеянного склероза, который помешал заниматься ему любимым делом - быть врачом. А деньги математикам он оставил, чтобы не оставлять своей жене, которую к концу жизни просто ненавидел.
9.
Попытки доказать теорему Ферма элементарными методами привели к появлению целого класса странных людей под названием «ферматисты». Они занимались тем, что производили огромное количество доказательств и совершенно не отчаивались, когда в этих доказательствах находили ошибку.
На мехмате МГУ был легендарный персонаж по фамилии Добрецов. Он собирал справки из разных ведомств и, пользуясь ими, проникал на мехмат. Делалось это исключительно для того, чтобы найти жертву. Как-то ему попался молодой аспирант (будущий академик Новиков). Он, по наивности своей, принялся внимательно изучать стопку бумаг, которую Добрецов подсунул ему со словами, мол, вот доказательство. После очередного «вот ошибка...» Добрецов забрал стопку, запихнул ее в портфель. Из второго портфеля (да, он ходил по мехмату с двумя портфелями) он достал вторую стопку, вздохнул и сказал: «Ну тогда посмотрим вариант 7 Б».
Кстати, большинство таких доказательств начинается с фразы «Перенесем одно из слагаемых в правую часть равенства и разложим на множители».
10.
Рассказ о теореме будет неполон без замечательного фильма «Математик и черт».
Поправка
В разделе 7 этой статьи первоначально говорилось, что Наум Элкиес нашел контрпример к теореме Ферма, который впоследствии оказался ошибочным. Это неверно: сообщение о контрпримере было первоапрельской шуткой. Приносим извинения за неточность.
Андрей Коняев
1Ивлиев Ю.А.
Статья посвящена описанию принципиальной математической ошибки, допущенной в процессе доказательства Великой теоремы Ферма в конце ХХ века. Обнаруженная ошибка не только искажает истинный смысл теоремы, но и препятствует развитию нового аксиоматического подхода к исследованию степеней чисел и натурального ряда чисел.
В 1995 году вышла статья , по размеру похожая на книгу и сообщавшая о доказательстве знаменитой Великой (Последней) теоремы Ферма (ВТФ) (об истории теоремы и попытках ее доказать см., например, ). После этого события появилось множество научных статей и научно-популярных книг, пропагандирующих это доказательство, однако ни в одном из этих трудов не была вскрыта принципиальная математическая ошибка в нем, вкравшаяся даже не по вине автора , а по какому-то странному оптимизму, охватившему умы математиков, занимавшихся указанной проблемой и смежными с ней вопросами. Психологические аспекты этого феномена были исследованы в . Здесь же дается детальный анализ произошедшей оплошности, которая носит не частный характер, а является следствием неправильного понимания свойств степеней целых чисел. Как показано в , проблема Ферма коренится в новом аксиоматическом подходе к изучению этих свойств, который до сих пор в современной науке не применялся. Но на его пути встало ошибочное доказательство , предоставившее специалистам по теории чисел ложные ориентиры и уводящее исследователей проблемы Ферма в сторону от ее прямого и адекватного решения. Данная работа посвящена устранению этого препятствия.
1. Анатомия ошибки, допущенной в ходе доказательства ВТФ
В процессе очень длинных и утомительных рассуждений первоначальное утверждение Ферма было переформулировано в терминах сопоставления диофантова уравнения p -ой степени с эллиптическими кривыми 3-его порядка (см. Теоремы 0.4 и 0.5 в ). Такое сопоставление заставило авторов фактически коллективного доказательства в объявить о том, что их метод и рассуждения приводят к окончательному решению проблемы Ферма (напомним, что ВТФ не имела признанных доказательств для случая произвольных целых степеней целых чисел вплоть до 90-х годов прошлого столетия). Целью данного рассмотрения является установление математической некорректности указанного выше сопоставления и, как результат проведенного анализа, нахождение принципиальной ошибки в доказательстве, предъявленном в .
а) Где и в чем ошибка?
Итак, будем идти по тексту , где на с.448 говорится, что после «остроумной идеи» Г.Фрея (G.Frey) открылась возможность доказательства ВТФ. В 1984 году Г.Фрей предположил и
К.Рибет (K.Ribet) позднее доказал, что предполагаемая эллиптическая кривая, представляющая гипотетическое целое решение уравнения Ферма,
y 2 = x(x + u p)(x - v p) (1)
не может быть модулярной. Однако А.Уайлс (A.Wiles) и Р.Тейлор (R.Taylor) доказали, что всякая полустабильная эллиптическая кривая, определенная над полем рациональных чисел, является модулярной. Отсюда следовал вывод о невозможности целочисленных решений уравнения Ферма и, следовательно, о справедливости утверждения Ферма, которое в обозначениях А.Уайлса записывалось как Теорема 0.5: пусть имеется равенство
u p + v p + w p = 0 (2)
где u, v , w - рациональные числа, целый показатель p ≥ 3; тогда (2) выполняется, только если uvw = 0 .
Теперь, по-видимому, следует вернуться назад и критически осмыслить, почему кривая (1) была априори воспринята как эллиптическая и какова ее реальная связь с уравнением Ферма. Предвидя этот вопрос, А.Уайлс ссылается на работу И.Эллегуарша (Y.Hellegouarch) , в которой тот нашел способ сопоставить уравнению Ферма (предположительно решаемому в целых числах) гипотетическую кривую 3-его порядка. В отличие от Г.Фрея И.Эллегуарш не связывал свою кривую с модулярными формами, однако его метод получения уравнения (1) был использован для дальнейшего продвижения доказательства А.Уайлса.
Остановимся подробнее на работе . Свои рассуждения автор проводит в терминах проективной геометрии. Упрощая некоторые его обозначения и приводя их в соответствие с , находим, что абелевой кривой
Y 2 = X(X - β p)(X + γ p) (3)
сопоставляется диофантово уравнение
x p + y p + z p = 0 (4)
где x , y, z - неизвестные целые числа, p - целый показатель из (2), а решения диофантова уравнения (4) α p , β p , γ p используются для записи абелевой кривой (3).
Теперь, чтобы удостовериться в том, что это кривая эллиптическая 3-его порядка, необходимо рассмотреть переменные X и Y в (3) на евклидовой плоскости. Для этого воспользуемся известным правилом арифметики эллиптических кривых: если имеются две рациональные точки на кубической алгебраической кривой и прямая, проходящая через эти точки, пересекает эту кривую еще в одной точке, то последняя также является рациональной точкой. Гипотетическое уравнение (4) формально представляет собой закон сложения точек на прямой. Если сделать замену переменных x p = A, y p = B, z p = C и направить полученную таким образом прямую по оси X в (3), то она пересечет кривую 3-ей степени в трех точках: (X = 0, Y = 0), (X = β p , Y = 0), (X = - γ p , Y = 0), что и отражено в записи абелевой кривой (3) и в аналогичной записи (1). Однако, является ли кривая (3) или (1) на самом деле эллиптической? Очевидно, что нет, потому что отрезки евклидовой прямой при сложении точек на ней взяты в нелинейном масштабе.
Возвращаясь к линейным координатным системам евклидова пространства, получаем вместо (1) и (3) формулы, весьма отличные от формул для эллиптических кривых. Например, (1) может быть следующей формой:
η 2p = ξ p (ξ p + u p)(ξ p - v p) (5)
где ξ p = x, η p = y, и апелляция к (1) в таком случае для вывода ВТФ представляется неправомерной. Несмотря на то, что (1) удовлетворяет некоторым критериям класса эллиптических кривых, все же самому главному критерию быть уравнением 3-ей степени в линейной системе координат оно не удовлетворяет.
б) Классификация ошибки
Итак, еще раз вернемся к началу рассмотрения и проследим, как делается в вывод об истинности ВТФ. Во-первых, предполагается, что существует некое решение уравнения Ферма в положительных целых числах. Во-вторых, это решение произвольно вставляется в алгебраическую форму известного вида (плоскую кривую 3-ей степени) в предположении, что полученные таким образом эллиптические кривые существуют (второе неподтвержденное предположение). В-третьих, поскольку другими методами доказывается, что построенная конкретная кривая немодулярна, то, значит, она не существует. Отсюда следует заключение: целочисленного решения уравнения Ферма нет и, следовательно, ВТФ верна.
В этих рассуждениях есть одно слабое звено, которое после детальной проверки оказывается ошибкой. Эта ошибка совершается на втором этапе процесса доказательства, когда предполагается, что гипотетическое решение уравнения Ферма является одновременно и решением алгебраического уравнения 3-ей степени, описывающего эллиптическую кривую известного вида. Само по себе такое предположение было бы оправданным, если бы указанная кривая действительно являлась эллиптической. Однако, как видно из п.1а), эта кривая представлена в нелинейных координатах, что делает ее «иллюзорной», т.е. реально не существующей в линейном топологическом пространстве.
Теперь надо четко классифицировать найденную ошибку. Она заключается в том, что в качестве аргумента доказательства приводится то, что нужно доказать. В классической логике эта ошибка известна как «порочный круг». В данном случае целочисленное решение уравнения Ферма сопоставляется (по-видимому, предположительно однозначно) с фиктивной, несуществующей эллиптической кривой, а потом весь пафос дальнейших рассуждений уходит на то, чтобы доказать, что конкретная эллиптическая кривая такого вида, полученная из гипотетических решений уравнения Ферма, не существует.
Как же так получилось, что в серьезной математической работе была пропущена столь элементарная ошибка? Наверно, это произошло из-за того, что ранее в математике не изучались «иллюзорные» геометрические фигуры указанного вида. Действительно, кого могла заинтересовать, например, фиктивная окружность, полученная из уравнения Ферма заменой переменных x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C ? Ведь ее уравнение C 2 = A 2 + B 2 не имеет целочисленных решений при целых x, y, z и n ≥ 3 . В нелинейных координатных осях X и Y такая окружность описывалась бы уравнением, по внешнему виду очень похожему на стандартную форму:
Y 2 = - (X - A)(X + B),
где A и B уже не переменные, а конкретные числа, определяемые указанной выше заменой. Но если числам A и B придать первоначальный вид, заключающийся в их степенном характере, то сразу же бросается в глаза неоднородность обозначений в сомножителях правой части уравнения. Этот признак помогает отличить иллюзию от действительности и перейти от нелинейных координат к линейным. С другой стороны, если рассматривать числа как операторы при их сравнении с переменными, как например в (1), то те и другие должны быть однородными величинами, т.е. должны иметь одинаковые степени.
Такое понимание степеней чисел как операторов позволяет также увидеть, что сопоставление уравнения Ферма иллюзорной эллиптической кривой не является однозначным. Возьмем, к примеру, один из сомножителей в правой части (5) и разложим его на p линейных сомножителей, введя такое комплексное число r, что r p = 1 (см. например ):
ξ p + u p = (ξ + u )(ξ + ru )(ξ + r 2 u )...(ξ + r p-1 u ) (6)
Тогда форму (5) можно представить в виде разложения на простые сомножители комплексных чисел по типу алгебраического тождества (6), однако единственность такого разложения в общем случае стоит под вопросом, что и было в свое время показано Куммером .
2. Выводы
Из предыдущего анализа следует, что так называемая арифметика эллиптических кривых не способна пролить свет на то, где надо искать доказательство ВТФ. После работы утверждение Ферма, кстати, взятое эпиграфом к этой статье, стало восприниматься, как историческая шутка или розыгрыш. Однако на деле оказывается, что пошутил не Ферма, а специалисты, собравшиеся на математический симпозиум в Обервольфахе в Германии в 1984 году, на котором Г.Фрей озвучил свою остроумную идею. Последствия такого неосторожного заявления привели математику в целом на грань утраты ею общественного доверия, что подробно описано в и что с необходимостью ставит перед наукой вопрос об ответственности научных учреждений перед обществом. Сопоставление уравнения Ферма кривой Фрея (1) является «замкóм» всего доказательства Уайлса относительно теоремы Ферма, и, если нет соответствия между кривой Ферма и модулярными эллиптическими кривыми, то значит нет и доказательства.
В последнее время появляются различные интернет-сообщения о том, будто бы некоторые видные математики, наконец-то, разобрались с доказательством Уайлса теоремы Ферма, придумав ему оправдание в виде «минимального» пересчета целых точек в евклидовом пространстве. Однако никакие новшества не в силах отменить классические результаты, уже добытые человечеством в математике, в частности, тот факт, что хотя любое порядковое число и совпадает с его количественным аналогом, оно не может быть ему заменой в операциях сравнения чисел между собой, а отсюда с неизбежностью следует вывод, что кривая Фрея (1) не является эллиптической изначально, т.е. не является ею по определению.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Ивлиев Ю.А. Реконструкция нативного доказательства Великой теоремы Ферма - Объединенный научный журнал (раздел «Математика»). Апрель 2006 № 7 (167) с.3-9, см. также Працi Луганського вiддiлення Мiжнародноϊ Академiϊ iнформатизацiϊ. Мiнiстерство освiти та науки Украϊни. Схiдноукраϊнський нацiональний унiверситет iм. В.Даля. 2006 № 2 (13) с.19-25.
- Ивлиев Ю.А. Величайшая научная афера ХХ века: «доказательство» Последней теоремы Ферма - Естественные и технические науки (раздел «История и методология математики»). Август 2007 № 4 (30) с.34-48.
- Эдвардс Г. (Edwards H.M.) Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Пер. с англ. под ред. Б.Ф.Скубенко. М.: Мир 1980, 484 с.
- Hellegouarch Y. Points d´ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI p.253-263.
- Wiles A. Modular elliptic curves and Fermat´s Last Theorem - Annals of Mathematics. May 1995 v.141 Second series № 3 p.443-551.
Библиографическая ссылка
Ивлиев Ю.А. ОШИБОЧНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УАЙЛСА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА // Фундаментальные исследования. – 2008. – № 3. – С. 13-16;URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (дата обращения: 03.03.2020). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
В мире можно найти не так уж много людей, ни разу не слы-шавших о Великой теореме Ферма — пожалуй, это единственная математическая задача, получившая столь широкую известность и ставшая настоящей легендой. О ней упоминается во множестве книг и фильмов, при этом главный контекст почти всех упоми-наний — невозможность доказать теорему.
Да, эта теорема очень известна и в некотором смысле стала «идолом», которому поклоняются математики-любители и про-фессионалы, но мало кому известно о том, что ее доказательство найдено, а произошло это в уже далеком 1995 году. Но обо всем по порядку.
Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая послед-ней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестя-щим французским математиком Пьером Ферма, очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образова-нием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.
Почему она так знаменита? Сейчас узнаем...
Мало ли доказанных, недоказанных и пока не доказанных теорем? Тут все дело в том, что Великая теорема Ферма являет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства. Великая теорема Ферма - задача невероятно трудная, и тем не менее ее формулировку может понять каждый с 5-ю классами средней школы, а вот доказательство - даже далеко не всякий математик-профессионал. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго. 2. В чем же она состоит?
Начнем с пифагоровых штанов Формулировка действительно проста - на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны». Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, - теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.
В V веке до н.э. Пифагор основал пифагорейское братство. Пифагорейцы, помимо прочего, изучали целочисленные тройки, удовлетворяющие равенству x²+y²=z². Они доказали, что пифагоровых троек бесконечно много, и получили общие формулы для их нахождения. Наверное, они пробовали искать тройки и более высоких степеней. Убедившись, что это не получается, пифагорейцы оставили бесполезные попытки. Члены братства были больше философами и эстетами, чем математиками.
То есть легко подобрать множество чисел, которые прекрасно удовлетворяют равенству x²+y²=z²
Начиная с 3, 4, 5 - действительно, младшекласснику понятно, что 9+16=25.
Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Замечательно.
Так вот, оказывается, что их НЕТ. Вот тут начинается подвох. Простота - кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение.
Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? легко: бац - а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен. А как доказать отсутствие?
Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.
В наглядном виде это можно показать так: если взять два квадратика подходящих размеров и разобрать на единичные квадратики, то из этой кучки единичных квадратиков получается третий квадратик (рис. 2):
А проделаем то же с третьим измерением (рис. 3) - не получается. Не хватает кубиков, или остаются лишние:
А вот математик XVII века француз Пьер де Ферма с увлечением исследовал общее уравнение x n +y n =z n . И, наконец, сделал вывод: при n>2 целочисленных решений не существует. Доказательство Ферма безвозвратно утеряно. Рукописи горят! Осталось лишь его замечание в «Арифметике» Диофанта: «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его».
Вообще-то, теорема без доказательства называется гипотезой. Но за Ферма закрепилась слава, что он никогда не ошибается. Даже если он не оставлял доказательства какого-нибудь утверждения, впоследствии оно подтверждалось. К тому же, Ферма доказал свой тезис для n=4. Так гипотеза французского математика вошла в историю как Великая теорема Ферма.
После Ферма над поиском доказательства работали такие ве-ликие умы, как Леонард Эйлер (в 1770 году им было предложено решение для n = 3),
Адриен Лежандр и Иоганн Дирихле (эти ученые в 1825 году совместно нашли доказательство для n = 5), Габриель Ламе (нашедший доказательство для n = 7) и многие другие. К середине 80-х годов прошлого века стало понятно, что ученый мир находится на пути к окончательному решению Великой теоремы Ферма, однако только в 1993 году математики увидели и поверили, что трехвековая эпопея по поиску доказа-тельства последней теоремы Ферма практически закончилась.
Легко показывается, что теорему Ферма достаточно доказать только для простых n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При составных n доказательство остаётся в силе. Но и простых чисел бесконечно много…
В 1825 году, применив метод Софи Жермен, женщины-математика, Дирихле и Лежандр независимо друг от друга доказали теорему для n=5. В 1839 году тем же методом француз Габриель Ламе показал истинность теоремы для n=7. Постепенно теорему доказали почти для всех n, меньших ста.
Наконец, немецкий математик Эрнст Куммер в блестящем исследовании показал, что методами математики XIX века теорему в общем виде доказать нельзя. Премия Французской Академии Наук, учреждённая в 1847 году за доказательство теоремы Ферма, осталась невручённой.
В 1907 году богатый немецкий промышленник Пауль Вольфскель из-за неразделённой любви решил свести счёты с жизнью. Как истинный немец он назначил дату и время самоубийства: ровно в полночь. В последний день он составил завещание и написал письма друзьям и родственникам. Дела закончились раньше полночи. Надо сказать, что Пауль интересовался математикой. От нечего делать он пошёл в библиотеку и принялся читать знаменитую статью Куммера. Неожиданно ему показалось, что Куммер в ходе рассуждений совершил ошибку. Вольфскель стал с карандашом в руках разбирать это место статьи. Полночь миновала, наступило утро. Пробел в доказательстве был восполнен. Да и сам повод для самоубийства теперь выглядел совершенно нелепым. Пауль разорвал прощальные письма и переписал завещание.
Вскоре он умер естественной смертью. Наследники были изрядно удивлены: 100 000 марок (более 1 000 000 нынешних фунтов стерлингов) передавались на счёт Королевского научного общества Гёттингена, которое в том же году объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля. 100 000 марок полагались доказавшему теорему Ферма. За опровержение теоремы не полагалось ни пфеннига…
Большинство профессиональных математиков считали поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадёжным делом и решительно отказывались тратить время на такое бесполезное занятие. Зато любители порезвились на славу. Через несколько недель после объявления на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Профессор Э. М. Ландау, в обязанность которого входил разбор присланных доказательств, раздал своим студентам карточки:
Уважаемый(ая) . . . . . . . .
Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. ... в строке... . Из-за неё всё доказательство утрачивает силу.
Профессор Э. М. Ландау
В 1963 году Пауль Коэн, опираясь на выводы Гёделя, доказал неразрешимость одной из двадцати трех проблем Гильберта — гипотезы континуума. А что, если Великая теорема Ферма тоже неразрешима?! Но истинных фанатиков Великой теоремы это ничуть не разочаровало. Появление компьютеров неожиданно дало математикам новый метод доказательства. После Второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1 000, а позже до 10 000.
В 80-е годы Сэмюэль Вагстафф поднял предел до 25 000, а в 90-ых математики заявили, что Великая теорема Ферма верна при всех значениях n до 4 миллионов. Но если от бесконечности отнять даже триллион триллионов, она не станет меньше. Математиков не убеждает статистика. Доказать Великую теорему значило доказать её для ВСЕХ n, уходящих в бесконечность.
В 1954 году два молодых японских друга-математика занялись исследованием модулярных форм. Эти формы порождают ряды чисел, каждая - свой ряд. Случайно Танияма сравнил эти ряды с рядами, порождаемыми эллиптическими уравнениями. Они совпадали! Но модулярные формы - геометрические объекты, а эллиптические уравнения - алгебраические. Между столь разными объектами никогда не находили связи.
Тем не менее, друзья после тщательной проверки выдвинули гипотезу: у каждого эллиптического уравнения существует двойник - модулярная форма, и наоборот. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого направления в математике, но до тех пор, пока гипотеза Таниямы-Симуры не была доказана, всё здание могло рухнуть в любой момент.
В 1984 году Герхард Фрей показал, что решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение. Двумя годами позже профессор Кен Рибет доказал, что это гипотетическое уравнение не может иметь двойника в модулярном мире. Отныне Великая теорема Ферма была нерасторжимо связана с гипотезой Таниямы-Симуры. Доказав, что любая эллиптическая кривая модулярна, мы делаем вывод, что эллиптического уравнения с решением уравнения Ферма не существует, и Великая теорема Ферма была бы тотчас же доказана. Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы-Симуры не удавалось, и надежд на успех оставалось всё меньше.
В 1963 году, когда ему было всего десять лет, Эндрю Уайлс уже был очарован математикой. Когда он узнал о Великой теореме, то понял, что не сможет отступиться от неё. Школьником, студентом, аспирантом он готовил себя к этой задаче.
Узнав о выводах Кена Рибета, Уайлс с головой ушёл в доказательство гипотезы Таниямы-Симуры. Он решил работать в полной изоляции и секретности. «Я понимал, что всё, что имеет какое-то отношение к Великой теореме Ферма, вызывает слишком большой интерес… Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели». Семь лет упорной работы принесли плоды, Уайлс наконец завершил доказательство гипотезы Таниямы-Симуры.
В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма (Уайльс прочитал свой сенсационный доклад на конференции в Институте сэра Исаака Ньютона в Кембридже.) , работа над которым продолжалась более семи лет.
Пока в печати продолжалась шумиха, началась серьёзная работа по проверке доказательства. Каждый фрагмент доказательства должен быть тщательно изучен прежде, чем доказательство может быть признано строгим и точным. Уайлс провёл беспокойное лето в ожидании отзывов рецензентов, надеясь, что ему удастся получить их одобрение. В конце августа эксперты нашли недостаточно обоснованное суждение.
Оказалось, что данное решение содержит грубую ошибку, хотя в целом и верно. Уайлс не сдался, призвал на помощь известного специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора, и уже в 1994 году они опубликовали исправлен-ное и дополненное доказательство теоремы. Самое удивительное, что эта работа заняла целых 130 (!) полос в математическом журнале «Annals of Mathematics». Но и на этом история не закончилась — последняя точка была поставлена только в следующем, 1995 году, когда в свет вышел окончательный и «идеальный», с математи-ческой точки зрения, вариант доказательства.
«…через полминуты после начала праздничного обеда по случаю её дня рождения, я подарил Наде рукопись полного доказательства» (Эндрю Уальс). Я ещё не говорил, что математики странные люди?
На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи были подвергнуты самому тщательному анализу и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of Mathematics».
С того момента прошло немало времени, однако в обществе до сих пор бытует мнение о неразрешимости Великой теоремы Фер-ма. Но даже те, кто знает о найденном доказательстве, продолжают работу в этом направлении — мало кого устраивает, что Великая теорема требует решения в 130 страниц!
Поэтому сейчас силы очень многих математиков (в основном это любители, а не профессио-нальные ученые) брошены на поиски простого и лаконичного до-казательства, однако этот путь, скорее всего, не приведет никуда...
источник