Вычисление медианы группы чисел. Медианой Что такое медиана числового

Чтобы по сторонам треугольника найти медиану, не обязательно запоминать дополнительную формулу. Достаточно знать алгоритм решения.

Для начала рассмотрим задачу в общем виде.

Дан треугольник со сторонами a, b, c. Найти длину медианы, проведенной к стороне b.

AB=a, AC=b, BC=c.

На луче BF отложим отрезок FD, FD=BF.

Соединим точку D с точками A и C.

Четырехугольник ABCD — параллелограмм (по признаку), так как у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Отсюда: AC²+BD²=2(AB²+BC²), значит, b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². По построению, BF — половина BD, следовательно,

Это — формула нахождения медианы треугольника по его сторонам. Обычно ее записывают так:

Переходим к рассмотрению конкретной задачи.

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найти медиану треугольника, проведенную к его средней по длине стороне.

Применяя аналогичные рассуждения, получаем:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

Краткая теория

Наиболее широкое применение в статистике имеют структурные средние, к числу которых относятся мода и медиана (непараметрические средние).

Мода - величина признака (варианта), которая встречается в ряду распределения с наибольшей частотой (весом). К моде (Мо) прибегают для выявления величины признака, имеющей наибольшее распространение (цена на рынке, по которой было совершено наибольшее число продаж данного товара, номер обуви, который пользуется наибольшим спросом у покупателей и т. д.). Мода используется только в совокупностях большой численности. В дискретном ряду мода находится как варианта, имеющая наибольшую частоту. В интервальном ряду сначала находится модальный интервал, то есть интервал, обладающий наибольшей частотой, а затем – приближенное значение модальной величины признака по формуле:

– нижняя граница модального интервала

- величина модального интервала

– частота интервала, предшествующего модальному

– частота модального интервала

– частота интервала, следующего за модальным

Квантили - величины, разделяющие совокупность на определенной количество равных по численности элементов частей. Самый известный квантиль – медиана, делящая совокупность на две равные части. Кроме медианы часто используются квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили -10 частей и перцентили - на 100 частей.

Медиана - величина признака у единицы, находящейся в середине ранжированного (упорядоченного) ряда. Если ряд распределения представлен конкретными значениями признака, то медиана (Me) находится как серединное значение признака.

Если ряд распределения дискретный, то медиана находится как серединное значение признака (например, если число значений нечетное – 45, то соответствует 23 значению признака в ряду значений, расположенных в порядке возрастания, если число значений четное – 44, то медиана соответствует полусумме 22 и 23 значений признака).

Если ряд распределения интервальный, то первоначально находят медианный интервал, который содержит единицу, находящуюся в середине ранжированного ряда. Для определения этого интервала сумму частот делят пополам и на основании последовательного накопления (суммирования) частот интервалов, начиная с первого, находят интервал, где расположена медиана. Значение медианы в интервальном ряду вычисляют по формуле:

- нижняя граница медианного интервала

- величина медианного интервала

Сумма частот ряда

– сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному

– частота медианного интервала

Квартили - это значения признака в ранжированном ряду, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше величины , 25% единиц будут заключены между и ; 25% - между и , остальные 25% превосходят . Квартили определяются по формулам, аналогичным формуле для расчета медианы. Для интервального ряда:

Децилем называется структурная переменная, делящая распределение на 10 равных частей по числу единиц в совокупности. Децилей 9, а децильных групп 10. Децили определяются по формулам, аналогичным формуле для расчета медианы и квартилей.

В целом общая формула для расчета квантилей в интервальном ряду такова:

– порядковый номер квантиля

– размерность квантиля (на сколько частей эти квартили делят совокупность)

– нижняя граница квантильного интервала

– ширина квантильного интервала

Накопленная частота предквантильного интервала

Для дискретного ряда номер квантиля можно найти по формуле:

Пример решения задачи

Условие задачи 1 (дискретный ранжированный ряд)

В результате исследований установлен среднемесячный доход жильцов одного подъезда:

Определите:

Модальный и медианный доход, квантили и децили дохода.

Решение задачи

Имеем уже ранжированный ряд - значения дохода жильцов распределены по возрастанию.

Мода - наиболее часто встречающееся значение. В данном случае имеем ряд с двумя модами.

Медиана - такое значение признака, которое делит упорядоченное множество данных пополам.

Квартили - значения признака в ранжированном ряду, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше величины ; 25% единиц будут заключены между и ; 25% - между и ; остальные 25% превосходят .

Дицили делят ряд на 10 равных частей:

Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК .

Условие задачи 2 (интервальный ряд)

Для определения среднего размера вклада в кредитном учреждении были получены следующие данные:

Рассчитайте структурные средние (моду, медиану, квартили).

Решение задачи

Вычислим моду размера вклада:

Мода - варианта, которой соответствует наибольшая частота.

Мода вычисляется по формуле:

Начало модального интервала

Величина интервала

Частота модального интервала

Частота интервала, предшествующего модальному

Частота интервала, следующего за модальным

Таким образом, наибольшее количество вкладов имеют размер 30,7 тыс.р.

Медиана - варианта, находящаяся в середине ряда распределения.

Расчет медианы производится по формуле:

Начало (нижняя граница) медианного интервала

Величина интервала

Сумма всех частот ряда

Частота медианного интервала

Сумма накопленных частот вариантов до медианного

Таким образом, половина вкладов имеет размер до 28 тыс.р., другая половина - более 28 тыс.р.

Вычислим квантили:

Таким образом 25% вкладов меньше 20,8 тыс.р., 25% вкладов лежат в интервале от 20,8 тыс.р. до 28 тыс.р., 25% лежат в интервале от 28 тыс.р. до 33 тыс.р., 25% больше величины в 33 тыс.р.

Условие задачи 3

Постройте графики для вариационного ряда. На графике покажите моду, медиану, среднюю, квартили.

Решение задачи 3

Вычислим среднюю : Для этого просуммируем произведения середин интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на сумму частот.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Кроме степенных средних в статистике для относительной характеристики величины варьирующего признака и внутреннего строения рядов распределения пользуются структурными средними, которые представлены,в основном, модой и медианой .

Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:

Медиана - это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

М е = (n (число признаков в совокупности) + 1)/2,

в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда).

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:

Пример . Найти моду и медиану.

Решение :
В данном примере модальный интервал находится в пределах возрастной группы 25-30 лет, так как на этот интервал приходится наибольшая частота (1054).

Рассчитаем величину моды:

Это значит что модальный возраст студентов равен 27 годам.

Вычислим медиану. Медианный интервал находится в возрастной группе 25-30 лет, так как в пределах этого интервала расположена варианта, которая делит совокупность на две равные части (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы:

Это значит что одна половина студентов имеет возраст до 27,4 года, а другая свыше 27,4 года.

Кроме моды и медианы могут быть использованы такие показатели, как квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили -10 частей и перцентили — на 100 частей.

Медиана - это такое значение признака, которое разделяет ранжированный ряд распределения на две равные части - со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Для нахождения медианы, нужно отыскать значение признака, которое находится на середине упорядоченного ряда.

Посмотреть решение задачи на нахождение моды и медианы Вы можете

В ранжированных рядах несгруппированные данные для нахождения медианы сводятся к поиску порядкового номера медианы. Медиана может быть вычислена по следующей формуле:

где Хm - нижняя граница медианного интервала;
im - медианный интервал;
Sme- сумма наблюдений, которая была накоплена до начала медианного интервала;
fme - число наблюдений в медианном интервале.

Свойства медианы

1. Медиана не зависит от тех значений признака, которые расположены по обе стороны от нее.
2. Аналитические операции с медианой весьма ограничены, поэтому при объединении двух распределений с известными медианами невозможно заранее предсказать величину медианы нового распределения.
3. Медиана обладает свойством минимальности. Его суть заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений х, от медианы представляет собой минимальную величину по сравнению с отклонением X от любой другой величины

Графическое определение медианы

Для определения медианы графическим методом используют накопленные частоты, по которым строится кумулятивная кривая. Вершины ординат, соответствующих накопленным частотам, соединяют отрезками прямой. Разделив поп олам последнюю ординату, которая соответствует общей сумме частот и проведя к ней перпендикуляр пересечения с кумулятивной кривой, находят ординату искомого значения медианы.

Определение моды в статистике

Мода - значение признака , имеющее наибольшую частоту в статистическом ряду распределения.

Определение моды производится разными способами, и это зависит от того, представлен ли варьирующий признак в виде дискретного или интервального ряда.

Нахождение моды и медианы происходит путем обычного просматривания столбца частот. В этом столбце находят наибольшее число, характеризующее наибольшую частоту. Ей соответствует определенное значение признака, которое и является модой. В интервальном вариационном ряду модой приблизительно считают центральный вариант интервала с наибольшей частотой. В таком ряду распределения мода вычисляется по формуле :

где ХМо - нижняя граница модального интервала;
imo - модальный интервал;
fм0, fм0-1, fм0+1 — частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

Мода широко используется в статистической практике при анализе покупательного спроса, регистрации цен и т. д.

Соотношения между средней арифметической, медианой и модой

Для одномодального симметричного ряда распределения , медиана и мода совпадают. Для асимметричных распределений они не совпадают.

К. Пирсон на основе выравнивания различных типов кривых определил, что для умеренно асимметричных распределений справедливы такие приближенные соотношения между средней арифметической, медианой и модой: