Рис 4 к пояснению допущений лобачевского. Аксиома параллельности Лобачевского, основные следствия. Утверждение геометрии Лобачевского

», посвященного отношениям российской и британской науки, математик Валентина Кириченко рассказывает ПостНауке о революционности идей Лобачевского для геометрии XIX века.

Параллельные прямые не пересекаются даже в геометрии Лобачевского. Где-то в фильмах часто можно встретить фразу: «А у нашего Лобачевского параллельные прямые пересеклись». Звучит красиво, но не соответствует действительности. Николай Иванович Лобачевский действительно придумал необыкновенную геометрию, в которой параллельные прямые ведут себя совсем не так, как мы привыкли. Но все же не пересекаются.

Мы привыкли думать, что две параллельные прямые не сближаются и не удаляются. То есть, какую бы точку на первой прямой мы ни взяли, расстояние от нее до второй прямой одно и то же, от точки не зависит. Но действительно ли это так? И почему это так? И как это вообще можно проверить?

Если речь идет о физических прямых, то для наблюдения нам доступен только небольшой участок каждой прямой. А учитывая погрешности измерения, мы не сможем сделать никаких определенных выводов о том, как прямые ведут себя очень-очень далеко от нас. Подобные вопросы возникали уже у древних греков. В III веке до нашей эры древнегреческий геометр Евклид очень точно изложил основное свойство параллельных линий, которое он не мог ни доказать, ни опровергнуть. Поэтому он назвал его постулатом - утверждением, которое следует принять на веру. Это знаменитый пятый постулат Евклида: если две прямые на плоскости пересечь с секущей, так что сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то есть меньше 180 градусов, то при достаточном продолжении эти две прямые пересекутся, причем именно по ту сторону от секущей, по которую сумма меньше двух прямых углов.

Ключевые слова в этом постулате - «при достаточном продолжении». Именно из-за этих слов постулат невозможно проверить опытным путем. Может быть, прямые пересекутся в зоне видимости. Может быть, через 10 километров или за орбитой Плутона, а может быть, вообще в другой галактике.

Свои постулаты и результаты, которые из них логически следуют, Евклид изложил в знаменитой книге «Начала». От древнегреческого названия этой книги происходит русское слово «стихии», а от латинского названия - слово «элементы». «Начала» Евклида - это самый популярный учебник всех времен и народов. По числу изданий он уступает только Библии.

Особенно хочется отметить замечательное британское издание 1847 года с очень наглядной и красивой инфографикой. Вместо унылых обозначений на чертежах там используются цветные рисунки - не то, что в современных школьных учебниках геометрии.

Вплоть до прошлого века «Начала» Евклида были обязательны для изучения на всех образовательных программах, где подразумевалось интеллектуальное творчество, то есть не просто обучение ремеслу, а что-то более интеллектуальное. Неочевидность пятого постулата Евклида вызвала естественный вопрос: нельзя ли его доказать, то есть вывести логически из остальных допущений Евклида? Это пытались сделать очень многие математики от современников Евклида до современников Лобачевского. Как правило, они сводили пятый постулат к какому-то более наглядному утверждению, в которое проще поверить.

Например, в XVII веке английский математик Джон Валлис свел пятый постулат к такому утверждению: существует два подобных, но неравных треугольника, то есть два треугольника, у которых углы равны, а размеры разные. Казалось бы, что может быть проще? Просто изменим масштаб. Но, оказывается, возможность менять масштаб с сохранением всех углов и пропорций - это эксклюзивное свойство евклидовой геометрии, то есть геометрии, в которой выполнены все постулаты Евклида, включая пятый.

В XVIII веке шотландский ученый Джон Плейфэр переформулировал пятый постулат в том виде, в котором он обычно фигурирует в современных школьных учебниках: две прямые, пересекающие друг друга, не могут быть одновременно параллельны третьей прямой. Именно в таком виде пятый постулат фигурирует в современных школьных учебниках.

К началу XIX века у многих сложилось впечатление, что доказывать пятый постулат - это все равно что изобретать вечный двигатель - совершенно бесполезное занятие. Но и предположить, что геометрия Евклида не единственно возможная, ни у кого не хватило духу: слишком велик был авторитет Евклида. В такой ситуации открытия Лобачевского были, с одной стороны, закономерны, а с другой - абсолютно революционны.

Лобачевский заменил пятый постулат на прямо противоположное утверждение. Аксиома Лобачевского звучала так: если из точки, не лежащей на прямой, выпустить все лучи, пересекающие эту прямую, то слева и справа эти лучи будут ограничены двумя предельными лучами, которые прямую уже не пересекут, но будут становиться к ней все ближе и ближе. Причем угол между этими предельными лучами будет строго меньше 180 градусов.

Из аксиомы Лобачевского сразу следует, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну прямую, параллельную данной, как у Евклида, а сколько угодно. Но вести себя эти прямые будут иначе, чем у Евклида. Например, если у нас есть две параллельные прямые, то они могут сначала сближаться, а потом удаляться. То есть расстояние от точки на первой прямой до второй прямой будет зависеть от точки. Будет разным для разных точек.

Геометрия Лобачевского противоречит нашей интуиции отчасти потому, что на небольших расстояниях, с которыми мы обычно имеем дело, она очень мало отличается от евклидовой. Похожим образом мы воспринимаем кривизну поверхности Земли. Когда мы идем от дома к магазину, нам кажется, что мы идем по прямой, а Земля плоская. Но если мы летим, скажем, из Москвы в Монреаль, то мы уже замечаем, что самолет летит по дуге окружности, потому что именно это кратчайший путь между двумя точками на поверхности Земли. То есть мы замечаем, что Земля больше похожа на футбольный мяч, чем на блин.

Геометрию Лобачевского тоже можно проиллюстрировать с помощью футбольного мяча, только не обычного, а гиперболического. Гиперболический футбольный мяч склеен примерно как обычный. Только в обычном мяче к черным пятиугольникам приклеиваются белые шестиугольники, а в гиперболическом мяче вместо пятиугольников нужно делать семиугольники и тоже обклеивать их шестиугольниками. При этом получится уже, конечно, не мяч, а скорее седло. И на этом седле реализуется геометрия Лобачевского.

О своих открытиях Лобачевский пытался рассказать в 1826 году в Казанском университете. Но текста доклада не сохранилось. В 1829 году он опубликовал статью о своей геометрии в университетском журнале. Результаты Лобачевского многим казались бессмысленными - не только потому, что они разрушали привычную картину мира, но потому, что изложены были не самым понятным образом.

Однако были у Лобачевского публикации и в высокорейтинговых журналах, как мы их сегодня называем. Например, в 1836 году он опубликовал статью под названием «Воображаемая геометрия» на французском в знаменитом журнале Крелля, в одном номере со статьями известнейших математиков того времени - Дирихле, Штейнера и Якоби. А в 1840 году Лобачевский издал небольшую и очень понятно написанную книгу под названием «Геометрические исследования по теории параллельных линий». Книга была на немецком и издана была в Германии. Тут же появилась разгромная рецензия. Рецензент особенно издевался над фразой Лобачевского: «Чем далее продолжаем прямые в сторону их параллелизма, тем больше они приближаются друг к другу». «Одно это высказывание, - писал рецензент, - уже достаточно характеризует сочинение господина Лобачевского и освобождает рецензента от необходимости дальнейшей его оценки».

Но нашелся у книги и один непредвзятый читатель. Это был Карл Фридрих Гаусс, также известный под прозвищем Король Математиков, один из величайших математиков в истории. Он высоко оценил книгу Лобачевского в одном из своих писем. Но его отзыв опубликовали только после его смерти вместе с остальной перепиской. И вот тогда начался настоящий бум геометрии Лобачевского.

В 1866 году его книгу перевели на французский язык, затем на английский. Причем английское издание было переиздано еще три раза из-за необычайной популярности. К сожалению, Лобачевский до этого времени не дожил. Он умер в 1856 году. А в 1868-м появилось русское издание книги Лобачевского. Оно вышло не книгой, а статьей в старейшем российском журнале «Математический сборник». Но тогда этот журнал был совсем молодым, ему не исполнилось еще и двух лет. Но более известен русский перевод 1945 года, выполненный замечательным российским и советским геометром Вениамином Федоровичем Каганом.

К концу XIX века математики разделились на два лагеря. Одни сразу приняли результаты Лобачевского и стали дальше развивать его идеи. А другие так и не смогли отказаться от веры, что геометрия Лобачевского описывает что-то несуществующее, то есть геометрия Евклида единственно верная и ничего другого быть не может. К сожалению, к числу последних относился и математик, больше известный как автор «Алисы в стране чудес», - Льюис Кэрролл. Его настоящее имя Чарльз Доджсон. В 1890 году он опубликовал статью под названием «Новая теория параллельных», где защищал исключительно наглядную версию пятого постулата. Аксиома Льюиса Кэрролла звучит так: если в круг вписать правильный четырехугольник, то площадь этого четырехугольника будет строго больше, чем площадь любого из сегментов круга, лежащих вне четырехугольника. В геометрии Лобачевского эта аксиома неверна. Если мы возьмем достаточно большой круг, то, какой бы четырехугольник мы в него ни вписали, какие бы длинные стороны у этого четырехугольника ни были, площадь четырехугольника будет ограничена универсальной физической постоянной. Вообще наличие физических констант и универсальных мер длины - это выгодное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида.

Зато Артур Кэли, другой известный английский математик, в 1859 году, то есть всего через три года после смерти Лобачевского, издал статью, которая впоследствии помогла легализовать постулат Лобачевского. Интересно, что Кэли в это время подрабатывал юристом в Лондоне и лишь потом получил профессорскую позицию в Кембридже. Фактически Кэли построил первую модель геометрии Лобачевского, хотя и решал, на первый взгляд, совсем другую задачу.

А другой замечательный английский математик, которого звали Уильям Кингдон Клиффорд, глубоко проникся идеями Лобачевского. И в частности, он первый высказал идею задолго до создания общей теории относительности, что гравитация вызвана искривлением пространства. Клиффорд так оценил вклад Лобачевского в науку в одной из своих лекций о философии науки: «Лобачевский для Евклида стал тем же, кем Коперник стал для Птолемея». Если до Коперника человечество полагало, что мы знаем о Вселенной все, то теперь нам ясно, что мы наблюдаем лишь небольшую часть Вселенной. Так же и до Лобачевского человечество считало, что есть только одна геометрия - евклидова, о ней все давно известно. Теперь мы знаем, что геометрий много, а знаем мы о них далеко не все.

Ни в какой. По определению, параллельные прямые не имеют точек пересечения.

Теперь давайте по геометриям и заблуждениям. Всюду будут рассматриваться "плоскости", чтобы это ни значило.

Геометрия Евклида. То, что учили в школе, то, что привычнее и почти точно выполняется в повседневной жизни. Выделю те два факта, что будут существенны потом. Первое: в этой геометрии есть расстояние, между любыми двумя точками существует кратчайшая, и притом только одна (отрезок прямой). Второе: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной и при том только одну.

Это соответствует какой-то паре аксиом из учебника Погорелова, поэтому мне удобнее будет на это опираться.

Геометрия Лобачевского. С расстоянием в ней все отлично, но нам его сложно представить из-за постоянной отрицательной кривизны (не поняли - не страшно). С параллельностью сложнее. Через точку вне прямой всегда можно провести не просто одну, а бесконечно много параллельных прямых.

Сферическая геометрия. Во-первых, что мы считаем "прямыми". Прямые на сфере - большие круги = круги, высекаемык на сфере плоскостью, проходящей через центр = круги радиуса равного радиусу сферы. Это прямые в том смысле, что это кратчайший путь между не очень далекими (чуть позже станет понятно, какими) точками. Некоторые могли заметить, что если города находятся на одной параллели, то самолет летит не по этой параллели, а по траектории выпуклой на север в северном полушарии. Если порисуете, то заметите, что большой круг, соединяющий две точки проходит северней параллели.

Чем же плохо расстояние на сфере? Возьмем диаметрально противоположные точки на сфере, для них существует бесконечно много кратчайших. Нагляднее: посмотрю на северный и южный полюса. Все мерилианы проходят через них, все они имеют одинаковые длины, любой другой путь будет длиннее.

Параллельных прямых при этом нет совсем, любые две прямые пересекаютсяются в диаметрально противоположных точках.

Проективная плоскость. Самое главное и первое отличие: никакого расстояния нет и быть не может. В принципе, его нельзя ввести, чтобы оно удовлетворяло каким-то естественным условиям (сохранялось при "движениях" плоскости). Таким образом, ни про какие "бесконечно удаленные прямые" сама геометрия не знает, все это придумано людьми, чтобы как-то понять проективную плоскость. Самый "простой" способ: представить привычную нам плоскость (так называемую "аффинную карту") и добавить к ней прямую, которая "бесконечно удалена", причем все прямые, которые были параллельны данной в плоскости, которую представили, пересекутся в какой-то одной точке на этой "бесконечно удаленной" прямой. Такое описание довольно просто: вот я что-то написал в два предложения, и кто-то что-то уже представил. Но оно вводит в заблуждение, никакой выделенной прямой в проективной геометрии нет. Но уже это описание показывает, что параллельных прямых

теоремы геометрии Лобачевского

1. Основные понятия геометрии Лобачевского

В евклидовой геометрии согласно пятому постулату на плоскости через точку Р, лежащую вне прямой А"А, проходит только одна прямая В"В, не пересекающая А"А. Прямая В"В называется параллелью к А"А. При этом достаточно потребовать, чтобы таких прямых проходило не более одной, так как существование непересекающей прямой может быть доказано путем последовательного проведения прямых PQA"A и PBPQ. В геометрии Лобачевского аксиома параллельности требует, чтобы через точку Р проходило более одной прямой, не пересекающей А "А.

Непересекающие прямые заполняют часть пучка с вершиной Р, лежащую внутри пары вертикальных углов TPU и U"PT" , расположенных симметрично относительно перпендикуляра PQ. Прямые, образующие стороны вертикальных углов, отделяют пересекающие прямые от непересекающих и сами являются тоже непересекающими. Эти граничные прямые называются параллелями в точке Р к прямой А"А соответственно в двух ее направлениях: T"Т параллельно А "А в направлении A"A, a UU" параллельно А "А в направлении А А". Остальные непересекающие прямые называются расходящимися прямыми с А "А .

Угол , 0< Р образует с перпендикуляром PQ, QPT= QPU" =, называется углом параллельности отрезка PQ=a и обозначается через . При а=0 угол =/2; при увеличении а угол уменьшается так, что для каждого заданного, 0<а. Эта зависимость называется функцией Лобачевского :

П (a)=2arctg (),

где к -- некоторая константа, определяющая фиксированный по величине отрезок. Она получила название радиуса кривизны пространства Лобачевского. Подобно сферической геометрии существует бесконечное множество пространств Лобачевского, различающихся величиной к.

Две различные прямые по плоскости образуют пару одного из трех типов.

Пересекающиеся прямые . Расстояние от точек одной прямой до другой прямой неограниченно увеличивается при удалении точки от пересечения прямых. Если прямые не перпендикулярны, то каждая проектируется ортогонально на другую в открытый отрезок конечной величины.

Параллельные прямые . На плоскости через данную точку проходит единственная прямая, параллельная данной прямой в заданном на последней направлении. Параллель в точке Р сохраняет в каждой своей точке свойство быть параллелью той же прямой в том же направлении. Параллелизм обладает взаимностью (если а ||b в определенном направлении, то и b ||а в соответствующем направлении) и транзитивностью (если а ||b и с||b в одном направлении, то а||с в соответствующем направлении). В направлении параллельности параллельные неограниченно сближаются, в противоположном направлении -- неограниченно удаляются (в смысле расстояния от перемещающейся точки одной прямой до другой прямой). Ортогональная проекция одной прямой на другую является открытой полупрямой.

Расходящиеся прямые . Они имеют один общий перпендикуляр, отрезок которого дает минимальное расстояние. По обе стороны от перпендикуляра прямые неограниченно расходятся. Каждая прямая проектируется на другую в открытый отрезок конечной величины.

Трем типам прямых соответствуют на плоскости три типа пучков прямых, каждый из которых покрывает всю плоскость: пучок 1-го рода -- множество всех прямых, проходящих через одну точку (центр пучка); пучок 2-го рода -- множество всех прямых, перпендикулярных к одной прямой (базе пучка); пучок 3-го рода -- множество всех прямых, параллельных одной прямой в заданном направлении, включающее и эту прямую.

Ортогональные траектории прямых этих пучков образуют аналоги окружности евклидовой плоскости: окружность в собственном смысле; эквидистанта , или линия равных расстояний (если не рассматривать базу), которая вогнута в сторону базы; предельная линия , или орицикл , ее можно рассматривать как окружность с бесконечно удаленным центром. Предельные линии конгруэнтны. Они не замкнуты и вогнуты в сторону параллельности. Две предельные линии, порожденные одним пучком,-- концентричны (высекают на прямых пучка равные отрезки). Отношение длин концентрических дуг, заключенных между двумя прямыми пучка, убывает в сторону параллельности как показательная функция расстояния х между дугами:

s" / s=e .

Каждый из аналогов окружности может скользить по самому себе, что порождает три типа однопараметрических движений плоскости: вращение вокруг собственного центра; вращение вокруг идеального центра (одна траектория -- база, остальные -- эквидистанты); вращение вокруг бесконечно удаленного центра (все траектории -- предельные линии).

Вращение аналогов окружностей вокруг прямой порождающего пучка приводит к аналогам сферы: собственно сфере, поверхности равных расстояний и орисфере , или предельной поверхности .

На сфере геометрия больших окружностей -- обычная сферическая геометрия; на поверхности равных расстояний -- геометрия эквидистант, являющаяся планиметрией Лобачевского, но с большим значением к; на предельной поверхности -- евклидова геометрия предельных линий.

Связь между длинами дуг и хорд предельных линий и евклидовы тригонометрические соотношения на предельной поверхности позволяют вывести тригонометрические соотношения на плоскости, то есть тригонометрические формулы для прямолинейных треугольников.

2. Некоторые теоремы геометрии Лобачевского

Теорема 1 . Сумма углов всякого треугольника меньше 2d.

Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник ABC (рис. 2). Его стороны а, b, с изображены соответственно в виде отрезка евклидова перпендикуляра к прямой и , дуги евклидовой окружности с центром М и дуги евклидовой окружности с центром N . Угол С --прямой. Угол А равен углу между касательными к окружностям b и с в точке А , или, что то же, углу между радиусами NA и МА этих окружностей. Наконец, B = BNМ.

Построим на отрезке BN как на диаметре евклидову окружность q; она имеет с окружностью с одну только общую точку В , так как ее диаметр является радиусом окружности с . Поэтому точка А лежит вне круга, ограниченного окружностью q, следовательно,

А = MAN < MBN.

Отсюда в силу равенства MBN+В = d имеем:

А +В < d; (1)

поэтому A + B + C < 2d, что и требовалось доказать.

Заметим, что с помощью надлежащего гиперболического движения любой прямоугольный треугольник можно расположить так, чтобы один из его катетов лежал на евклидовом перпендикуляре к прямой и; следовательно, использованный нами метод вывода неравенства (1) применим к любому прямоугольному треугольнику.

Если дан косоугольный треугольник, то разбиваем его одной из высот на два прямоугольных треугольника. Сумма острых углов этих прямоугольных треугольников равна сумме углов данного косоугольного треугольника. Отсюда, принимая во внимание неравенство (1) , заключаем, что теорема справедлива для любого треугольника.

Теорема 2. Сумма углов четырехугольника меньше 4d.

Для доказательства достаточно разбить четырехугольник диагональю на два треугольника.

Теорема 3. Две расходящиеся прямые имеют один и только один общий перпендикуляр.

Пусть одна из данных расходящихся прямых изображается на карте в виде евклидова перпендикуляра р к прямой и в точке М , другая -- в виде евклидовой полуокружности q с центром на и , причем р и q не имеют общих точек (рис. 3). Такое расположение двух расходящихся гиперболических прямых на карте всегда может быть достигнуто с помощью надлежащего гиперболического движения.

Проведем из М евклидову касательную MN к q и опишем из центра М радиусом MN евклидову полуокружность m . Ясно, что m --гиперболическая прямая, пересекающая и р и q под прямым углом. Следовательно, m изображает на карте искомый общий перпендикуляр данных расходящихся прямых.

Две расходящиеся прямые не могут иметь двух общих перпендикуляров, так кaк в этом случае существовал бы четырехугольник с четырьмя прямыми углами, что противоречит теореме 2.

. Теорема 4. Прямоугольная проекция стороны острого угла на другую его сторону есть отрезок (а не полупрямая, как в геометрии Евклида).

Справедливость теоремы очевидна из рис. 4, где отрезок АВ есть прямоугольная проекция стороны АВ острого угла ВАС на его сторону АС.

На том же рисунке дуга DE евклидовой окружности с центром М есть перпендикуляр к гиперболической прямой АС . Этот перпендикуляр не пересекается с наклонной АВ. Следовательно, допущение, что перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой всегда пересекаются, противоречит аксиоме параллельности Лобачевского; оно равносильно аксиоме параллельности Евклида.

Теорема 5. Если три угла треугольника ABC равны соответственно трем углам треугольника А"В"С", то эти треугольники равны.

Допустим обратное и отложим соответственно на лучах АВ и АС отрезки АВ = А"В", АС = А"С". Очевидно, треугольники АВС и А"В"С" равны по двум сторонам и заключенному между ними углу. Точка B не совпадает с В , точка C не совпадает с С , так как в любом из этих случаев имело бы место равенство данных треугольников, что противоречит допущению.

Рассмотрим следующие возможности.

а) Точка В лежит между А и В , точка С -- между А и С (рис. 5); на этом и следующем рисунке гиперболические прямые изображены условно в виде евклидовых прямых). Нетрудно убедиться, что сумма углов четырехугольника ВССВ равна 4d , что невозможно в силу теоремы 2.

6) Точка В лежит между А и В , точка С -- между А и С (рис. 6). Обозначим через D точку пересечения отрезков ВС и BC Так как C = C" и C" = С, то C= С, что невозможно, поскольку угол С -- внешний относительно треугольника CCD.

Аналогично трактуются и другие возможные случаи.

Теорема доказана, поскольку сделанное допущение привело к противоречию.

Из теоремы 5 вытекает, что в геометрии Лобачевского не существует треугольника, подобного данному треугольнику, но не равного ему.

Еще более глубокое изучение вопроса приведет нас к такому понятию, как кривизна пространства . Не вдаваясь в подробности, обратим внимание лишь на то, что поверхность может быть искривлена в каждой точке двумя качественно различными способами. В одном случае поверхность напоминает часть эллипсоида, и кривизна считается положительной. В другом случае поверхность похожа на седло, и ее кривизна отрицательна. Псевдосфера, как видно на ее изображении (а значит, и плоскость Лобачевского), имеет отрицательную кривизну, причем оказывается, что эта кривизна постоянна (не зависит от точки поверхности). Это, кстати, проясняет происхождение названия «псевдосфера»: обычная сфера является поверхностью с постоянной положительной кривизной.

Геометрия Лобачевского, созданная в XIX веке, была важнейшей ступенью к созданию области математики, которая сейчас называется дифференциальной геометрией . Она занимается изучением произвольных искривленных пространств, а ее математический аппарат является фундаментом такой важной области современной физики, как общая теория относительности (ОТО). Дело в том, что, согласно ОТО, пространство-время, в котором мы живем, обладает кривизной, причем кривизна пространства соответствует наличию в этой точке пространства гравитационного поля.

ОТО подверглась многочисленным экспериментальным проверкам (см.: Столетие ОТО, или Юбилей Первой ноябрьской революции , «Элементы», 25.11.2015), а поправки, связанные с ней, приходится учитывать для точной спутниковой навигации. Кроме того, ей описывается физика массивных объектов, таких как обычные и нейтронные звезды, сверхновые и черные дыры (список можно продолжать). Наконец, ОТО лежит в основе современной науки о Вселенной - космологии .

Согласно здравому смыслу, а также всем имеющимся наблюдательным данным, Вселенная на больших масштабах однородна и изотропна. Это в любом случае означает, что она является пространством постоянной пространственной кривизны. В связи с этим с самых первых лет космологии рассматривались три возможности : плоская Вселенная, Вселенная положительной кривизны («сферическая Вселенная») и Вселенная отрицательной кривизны («Вселенная Лобачевского»). На данный момент, правда, считается, что кривизна Вселенной нулевая (в пределах современной точности измерений). Это находит объяснение в современной теории инфляции . Согласно последней, Вселенная в начальной стадии своей эволюции испытывала очень быстрое расширение и в результате увеличилась во много раз (это и называется инфляцией). Вполне возможно, что до инфляции Вселенная была сферической, «Вселенной Лобачевского» или имела какую-то другую сложную геометрию. Однако расширение привело к тому, что сейчас наблюдениям доступна лишь очень малая часть всей Вселенной, и ее геометрия должна быть неотличима от плоской.

Пятый постулат Евклида «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых» многим математикам еще в античности казался каким-то не очень ясным, отчасти в связи со сложностью его формулировки.

Представлялось, что постулатами должны быть только элементарные предложения, простые по форме. В связи с этим 5-ый постулат стал предметом особого внимания математиков, причем исследования на эту тему можно разделить на два направления, на деле тесно связанные между собой. Первое стремилось к замене этого постулата более простым и интуитивно ясным, как, например, сформулированное еще Проклом утверждение «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающуюся с данной»: именно в таком виде 5-ый постулат, вернее, эквивалентная ему аксиома о параллельных фигурирует в современных учебниках.

Представители второго направления пытались доказать пятый постулат на основе других, то есть превратить его в теорему. Попытки такого рода начали ряд арабских математиков средневековья: ал-Аббас ал-Джаухари (нач. IX в.), Сабит ибн Корра, Ибн ал-Хайсам, Омар Хайям, Насиреддин ат-Туси. Позже в эти исследования включились европейцы: писавшие по-древнееврейски Леви Бен Гершон (XIV в.) и Альфонсо (XV в.), а затем немец-иезуит Х. Клавий (1596), англичанин Дж. Валлис (1663) и др. Особенный интерес к этой проблеме возник в XVIII в.: с 1759 по 1800 г. вышло 55 сочинений, анализирующих данную проблему, в т. ч. весьма важные сочинения итальянца-иезуита Дж. Саккери и немца И. Г. Ламберта.

Доказательства обычно велись методом «от противного»: из допущения, что 5-ый постулат не выполняется, пытались вывести следствия, которые противоречили бы другим постулатам и аксиомам. В действительности, однако, в конечном итоге получали противоречие не с другими постулатами, а с неким явным или неявным «очевидным» предложением, которое, однако, было невозможно установить на основе других постулатов и аксиом евклидовой геометрии: таким образом, доказательства не достигали своей цели, – получалось, что на место 5-го постулата опять-таки ставилось какое-то другое равносильное ему утверждение. В качестве такого утверждения брались, например, следующие положения:

Рис. 2. Существуют прямые, равноотстоящие друг от друга

Рис. 4. Две сходящиеся прямые пересекаются

Геометрия, в которой эти утверждения не выполняются, конечно, не такова, как мы привыкли, но из этого еще не следует, что она невозможна или что эти утверждения вытекают из других постулатов и аксиом Евклида, так что во всех доказательствах были те или иные пробелы или натяжки. Клавий обосновывал допущение о том, что существуют прямые, равноотстоящие друг от друга, евклидовым «определением» прямой как линии, равно расположенной по отношению к точкам на ней. Валлис впервые положил в основание своего доказательства 5-го постулата «естественное» положение, согласно которому для любой фигуры существует подобная сколь угодно большого размера, и обосновывал это утверждение 3-м постулатом Евклида, утверждающим из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг (в действительности утверждение о существовании, например, неравных подобных треугольников или даже окружностей эквивалентно 5-му постулату). А. М. Лежандр в последовательных изданиях учебника «Начала геометрии» (1794, 1800, 1823) приводил новые доказательства 5-го постулата, но внимательный анализ показывал пробелы в этих доказательствах. Подвергнув Лежандра справедливой критике, наш соотечественник С. Е. Гурьев в книге «Опыт о усовершенствовании элементов геометрии» (1798), однако, сам допустил ошибку в доказательстве 5-го постулата.

Довольно быстро была осознана связь между суммой углов треугольника и четырехугольника и 5-ым постулатом: 5-ый постулат следует из утверждения о том, что сумма углов треугольника равна двум прямым, которое можно вывести из существования прямоугольников. В связи с этим получил распространение подход (ему следовали Хайям, ат-Туси, Валлис, Саккери), при котором рассматривается четырехугольник, получающийся в результате откладывания равных отрезков на двух перпендикулярах к одной прямой. Исследуются три гипотезы: два верхних угла являются острыми, тупыми либо прямыми; при этом осуществляется попытка показать, что гипотезы тупых и острых углов ведут к противоречию.

При другом подходе (его применяли Ибн ал-Хайсам, Ламберт) анализировались аналогичные три гипотезы для четырехугольника с тремя прямыми углами.

Саккери и Ламберт показали, что гипотезы тупых углов действительно ведут к противоречию, но им не удалось найти противоречия при рассмотрении гипотез острых углов: вывод о таком противоречии Саккери сделал лишь в результате ошибки, а Ламберт заключил, что видимое отсутствие противоречия в гипотезе острого угла связано с какой-то фундаментальной причиной. Ламберт нашел, что, при принятии гипотезы острого угла, сумма углов каждого треугольника меньше 180° на величину, пропорциональную его площади, и сравнил с этим открытое в нач. XVII в. положение, согласно которому площадь сферического треугольника, напротив, больше 180° на величину, пропорциональную его площади.

В 1763 г. Г. С. Клюгель опубликовал «Обзор важнейших попыток доказательства теории параллельных линий», где рассмотрел около 30 доказательств 5-го постулата и выявил в них ошибки. Клюгель заключил, что Евклид вполне обосновано поместил свое утверждение среди постулатов.

Тем не менее, попытки доказательства 5-го постулата сыграли весьма важную роль: пытаясь привести противоположные ему утверждения к противоречию, указанные исследователи на деле открыли многие важные теоремы неевклидовой геометрии – в частности, такой геометрии, где место 5-го постулата занимает утверждение о возможности провести через заданную точку, по крайней мере, двух прямых, не пересекающих данную. Это утверждение, эквивалентное гипотезе острого угла, и было положено в основу первооткрывателями неевклидовой геометрии.

К мысли о том, что допущение альтернативы 5-му постулату ведет к построению геометрии, отличной от евклидовой, но столь же непротиворечивой, независимо пришли несколько ученых: К. Ф. Гаусс, Н. И. Лобачевский и Я. Бояи (а также Ф. К. Швейкарт и Ф. А. Тауринус, чей вклад в новую геометрию, впрочем, был более скромным и которые не публиковали своих исследований). Гаусс, судя по записям, сохранившимся в его архиве (и опубликованным только в 1860-е гг.), осознал возможность новой геометрии еще в 1810-е гг., но также никогда не публиковал своих открытий на эту тему: «Я опасаюсь крика беотийцев (т. е. глупцов: жители области Беотия считались в Древней Греции самыми глупыми), если выскажу мои воззрения целиком», – писал он в 1829 г. своему другу математику Ф. В. Бесселю. Непонимание в полной мере выпало на долю Лобачевского, сделавшего первый доклад о новой геометрии в 1826 г. и опубликовавшего полученные результаты в 1829 г. В 1842 г. Гаусс добился избрания Лобачевского членом-корреспондентом Геттингенского ученого общества: это было единственным признанием заслуг Лобачевского при жизни. Отец Я. Бояи – математик Фаркаш Бояи, также пытавшийся доказать 5-й постулат – предостерегал сына от исследований в этом направлении: «...это может лишить тебя твоего досуга, здоровья, покоя, всех радостей жизни. Эта черная пропасть в состоянии, быть может, поглотить тысячу таких титанов, как Ньютон, на Земле это никогда не прояснится...». Тем не менее, Я. Бояи в 1832 г. опубликовал свои результаты в приложении к учебнику геометрии, написанному его отцом. Бояи также не добился признания, к тому же был огорчен тем, что Лобачевский опередил его: больше неевклидовой геометрией он не занимался. Так что только Лобачевский в течение всей оставшейся жизни, во-первых, продолжал исследования в новой области, а во-вторых, пропагандировал свои идеи, опубликовал еще ряд книг и статей по новой геометрии.

Итак, в плоскости Лобачевского через точку C вне данной прямой AB проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие AB . Все прямые, проходящие через C , делятся на два класса – на пересекающие и на не пересекающие AB . Эти последние лежат в некотором угле, образованном двумя крайними прямыми, не пересекающими AB . Именно эти прямые Лобачевский называет параллельными прямой AB , а угол между ними и перпендикуляром – углом параллельности. Этот угол зависит от расстояния от точки C до прямой AB : чем больше это расстояние, тем меньше угол параллельности. Прямые, лежащие внутри угла, называются расходящимися по отношению к AB .

Любые две расходящиеся прямые p и q имеют единственный общий перпендикуляр t , который является самым коротким отрезкам от одной до другой. Если точка M движется по p в направлении от t , то расстояние от M до q будет возрастать до бесконечности, причем основания перпендикуляров, опущенных из M на q , заполнят лишь конечный отрезок.

Если прямые p и q пересекают друг друга, то проекции точек одной из них на другую также заполняют ограниченный отрезок.

Если прямые p и q параллельны, то в одном направлении расстояния между их точками неограниченно убывают, а в другом неограниченно возрастают; одна прямая проецируется на луч другой.

На рисунках показаны различные взаимные положения прямых p и q , возможные в геометрии Лобачевского; r и s – перпендикуляры, параллельные q . (Мы вынуждены рисовать искривленную линию q , хотя речь идет о прямой. Даже если бы наш мир в целом подчинялся бы законам геометрии Лобачевского, мы бы все равно не смогли изобразить в малом масштабе без искажений то, как все выглядит в большом: в геометрии Лобачевского нет подобных фигур, которые не были бы равными).

Внутри угла существует прямая, параллельная обеим сторонам угла. Она делит все точки внутри угла на два типа: через точки первого типа можно провести прямые, пересекающие обе стороны угла; через точки второго типа нельзя провести ни одной такой прямой. То же верно и для пространства между параллельными прямыми. Между двумя расходящимися прямыми есть две прямые, параллельные им обеим; они делят пространство между расходящимися прямыми на три области: через точки в одной области можно провести прямые, пересекающие обе стороны угла; через точки в двух других областях таких прямых провести нельзя.

На диаметр окружности всегда опирается острый, а не прямой угол. Сторона вписанного в окружность правильного шестиугольника всегда больше ее радиуса. Для любого n > 6 можно построить такую окружность, что сторона вписанного в нее правильного n -угольника равна ее радиусу.

Лобачевский интересовался вопросом о геометрии физического пространства, в частности, используя данные астрономических наблюдений подсчитывал сумму углов больших, межзвездных треугольников: однако отличие этой суммы углов от 180° лежало целиком внутри ошибки наблюдений. Непонимание, выпавшее на долю Лобачевского, который сам называл свою геометрию «воображаемой», во многом связано с тем, что в его время такие идеи казались чистыми абстракциями и игрой воображения. Действительно ли новая геометрия непротиворечива? (Ведь если даже Лобачевскому не удалось встретить противоречия, это не гарантирует, что оно не будет обнаружено впоследствии). Насколько она соотносится с реальным миром, а также с другими областями математики? Это стало ясно далеко не сразу, и успех, в конечном итоге выпавший на долю новых идей, был связан с открытием моделей новой геометрии.