Нод взаимно простые числа. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Взаимно простые числа»

Запомните!

Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.

Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.

Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.

Простых чисел много, и первое среди них — число 2 . Однако нет последнего простого числа. В разделе «Для учёбы» вы можете скачать таблицу простых чисел до 997 .

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Например:

• число 12 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 ;
• число 36 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 , на 18 , на 36 .

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12 ) называются делителями числа.

Запомните!

Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число «a » без остатка.

Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Наибольший из делителей этих чисел — 12 .

Общий делитель двух данных чисел «a » и «b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа «a » и «b ».

Запомните!

Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел «a » и «b » — это наибольшее число, на которое оба числа «a » и «b » делятся без остатка.

Кратко наибольший общий делитель чисел «a » и «b » записывают так :

НОД (a; b) .

Пример: НОД (12; 36) = 12 .

Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

Д (7) = {1, 7}

Д (9) = {1, 9}

НОД (7; 9) = 1

Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1 . Такие числа называют взаимно простыми числами .

Запомните!

Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1 . Их НОД равен 1 .

Как найти наибольший общий делитель

Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:

1. разложить делители чисел на простые множители;

Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.

Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64 .

1. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах.
   28 = 2 · 2 · 7

   64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

2. Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;
   НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4

   Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

09.07.2015 6119 0

Цели: формировать навык нахождения наибольшего общего делителя; ввести понятие взаимно простых чисел; отрабатывать умение решать задачи на использование НОД чисел; учить анализировать, делать выводы.

II. Устный счет

1. Может ли разложение на простые множители числа 24 753 содержать множитель 5? Почему? (Нет, так как запись данного числа не оканчивается цифрой 0 или 5.)

2. Назовите число, которое делится на все числа без остатка. (Нуль.)

3. Сумма двух целых чисел нечетна. Четно или нечетно их произведение? (Если сумма двух чисел нечетна, то одно число четно, второе нечетно. Так как один из множителей четное число, следовательно, он делится на 2, значит и произведение делится на 2. Тогда и все произведение четно.)

4. В одной семье у каждого из трех братьев есть сестра. Сколько детей в семье? (4 детей: трое мальчиков и одна их сестра.)

III . Индивидуальная работа

Разложите число 210 всеми возможными способами:

а) на 2 множителя; (210 = 21 · 10 = 14 · 15 = 7 · 30 = 70 · 3 = 6 · 35 = 42 · 5 = 105 · 2.)

б) на 3 множителя; (210 = 3 · 7 · 10 = 5 · 3 · 14 = 7 · 5 · 6 = 35 · 2 · 3 = 21 · 2 · 5 = 7 · 2 · 15.)

в) на 4 множителя. (210 = 3 · 7 · 2 · 5.)

IV. Сообщение темы урока

«Числа правят миром». Эти слова принадлежат древнегреческому математику Пифагору, жившему в V в. до н.э.

Сегодня мы познакомимся еще с одной группой чисел, которые называются взаимно простыми.

V. Изучение нового материала

1. Подготовительная работа.

№ 146 стр. 25 (на доске и в тетрадях). (Самостоятельно, в это время один ученик работает на обратной стороне доски.)

Найдите все делители каждого числа.

Подчеркните их общие делители.

Запишите наибольший общий делитель.

Ответ:

Какие числа имеют только один общий делитель? (35 и 88.)

2. Работа над новой темой.

(Самостоятельно, в это время один ученик работает на обратной стороне доски.)

Найдите наибольший общий делитель чисел: 7 и 21; 25 и 9; 8 и 12; 5 и 3; 15 и 40; 7 и 8.

Ответ:

НОД (7; 21) = 7; НОД (25; 9) = 1; НОД (8; 12) = 4;

НОД (5; 3)= 1; НОД (15; 40) = 5; НОД (7; 8) = 1.

У каких пар чисел одинаковый общий делитель? (25 и 9; 5 и 3; 7 и 8 - общий делитель 1.)

Такие числа называются взаимно простыми.

Дайте определение взаимно простых чисел.

Приведите примеры взаимно простых чисел. (35 и 88, 3 и 7; 12 и 35; 16 и 9.)

VI. Историческая минутка

Древние греки придумали замечательный способ, позволяющий искать наибольший общий делитель двух натуральных чисел без разложения на множители. Он носил название «Алгоритма Евклида».

О жизни греческого математика Евклида достоверные данные неизвестны. Ему принадлежит выдающееся научное произведение, называемое «Начала». Оно состоит из 13 книг и излагает основы всей древнегреческой математики.

Именно здесь описывается алгоритм Евклида, который заключается в том, что наибольшим общим делителем двух натуральных чисел является последний, отличный он нуля, остаток при последовательном делении этих чисел. Под последовательным делением подразумевается деление большего числа на меньшее, меньшего числа на первый остаток, первого остатка на второй остаток и т.д., пока деление не закончится без остатка. Положим, требуется найти НОД (455; 312), тогда

455: 312 = 1 (ост. 143), получаем 455 = 312 · 1 + 143.

312: 143 = 2 (ост. 26), 312 = 143 · 2 + 26,

143: 26 = 5 (ост. 13), 143 = 26 · 5 + 13,

26: 13 = 2 (ост. 0), 26 = 13 · 2.

Последний делитель или последний, отличный от нуля остаток 13 и будет искомым НОД (455; 312) = 13.

VII. Физкультминутка

VIII. Работа над задачей

1. № 152 стр. 26 (с подробным комментированием у доски и в тетрадях).

Прочитайте задачу.

О ком говорится в задаче?

О чем говорится в задаче?

Назовите 1-й вопрос задачи.

Как узнать, сколько ребят было на елке? (Найти НОД чисел 123 и 82.)

Прочитайте задание к этой задаче из тетрадей. (Количество апельсинов и яблок должно делиться на одно и то же наибольшее число.)

Как узнать, сколько апельсинов было в каждом подарке? (Все количество апельсинов разделить на количество присутствующих на елке детей.)

Как узнать, сколько яблок было в каждом подарке? (Все количество яблок разделить на количество присутствующих на елке детей.)

Запишите решение задачи в тетрадях на печатной основе.

Решение:

НОД (123; 82) = 41, значит, 41 человек.

123: 41 = 3 (ап.)

82: 41 = 2 (ябл.)

(Ответ: ребят 41, апельсинов 3, яблок 2.)

2. № 164 (2) стр. 27 (после краткого разбора, один ученик - на обратной стороне доски, остальные самостоятельно, потом самопроверка).

Прочитайте задачу.

Чему равна градусная мера развернутого угла?

Если один угол в 4 раза меньше, то что можно сказать про второй угол? (Он в 4 раза больше.)

Запишите это в краткую запись.

Каким способом будете решать задачу? (Алгебраическим.)

Решение:

1) Пусть х - градусная мера угла СОК,

4х - градусная мера угла KOD .

Так как сумма углов СОК и KOD равна 180°, то составим уравнение:

х + 4х = 180

5х = 180

х = 180: 5

х = 36; 36° - градусная мера угла СОК.

2) 36 · 4 = 144° - градусная мера угла KOD .

(Ответ: 36°, 144°.)

Постройте эти углы.

Определите вид углов СОК и KOD . (Угол СОК - острый, угол KOD - тупой.)

Почему?

IX. Закрепление изученного материала

1. № 149 стр. 26 (у доски с подробным комментарием).

Что нужно сделать, чтобы определить, являются ли числа взаимно простыми? (Найти их наибольший общий делитель, если он равен 1, то числа взаимно простые.)

2. № 150 стр. 26 (устно).

Подтвердите свой ответ. (9 и 14; 14 и 15; 14 и 27 - пары взаимно простых чисел, так как их НОД равен 1.)

3. № 151 стр. 26 (один ученик у доски, остальные в тетрадях).

(Ответ: .)

Кто не согласен?

4. Устно, с подробным объяснением.

Как находят наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел? (Находят так же, как и двух чисел.)

Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 18, 14 и 6; б) 26, 15 и 9; в) 12, 24, 48; г) 30, 50, 70.

Решение:

а) 1. Проверим, делятся ли числа 18 и 14 на 6. Нет.

2. Разложим на простые множители наименьшее число 6 = 2 · 3.

3. Проверим, делятся ли числа 18 и 14 на 3. Нет.

4. Проверим, делятся ли числа 18 и 14 на 2. Да. Следовательно, НОД (18; 14; 6) = 2.

б) НОД (26; 15; 9) = 1.

Что можно сказать об этих числах? (Они взаимно простые.)

в) НОД (12; 24; 48) = 12.

г) НОД (30; 50; 70) = 10.

X. Самостоятельная работа

Взаимопроверка. (На закрывающейся доске записаны ответы.)

Вариант I. № 161 (а, б) стр. 27, № 157 (б - 1 и 3 число) стр. 27.

Вариант II . № 161 (в, г) стр. 27, № 157 (б - 2 и 3 число) стр. 27.

XI. Подведение итогов урока

Какие числа называют взаимно простыми?

Как можно узнать, являются ли данные числа взаимно простыми?

Как найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел?

Домашнее задание

№ 169 (6), 170 (в, г), 171, 174 стр. 28.

Дополнительное задание: При перестановке цифр простого числа 311 опять получится простое число (проверьте это по таблице простых чисел). Найдите все двузначные числа, обладающие таким же свойством. (113, 131; 13, 31; 17, 71; 37, 73; 79, 97.)

Решение задач из задачника Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд за 6 класс по математике на тему:

Глава I. Обыкновенные дроби.
§ 1. Делимость чисел:
6. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

146 Найдите все общие делители чисел 18 и 60; 72, 96 и 120; 35 и 88.
РЕШЕНИЕ

147 Найдите разложение на простые множители наибольшего общего делителя чисел a и b, если a = 2·2·3·3 и b = 2·3·3·5; a = 5·5·7·7·7 и b = 3·5·7·7.
РЕШЕНИЕ

148 Найдите наибольший общий делитель чисел 12 и 18; 50 и 175; 675 и 825; 7920 и 594; 324, 111 и 432; 320, 640 и 960.
РЕШЕНИЕ

149 Являются ли взаимно простыми числа 35 и 40; 77 и 20; 10, 30, 41; 231 и 280?
РЕШЕНИЕ

150 Являются ли взаимно простыми числа 35 и 40; 77 и 20; 10, 30, 41; 231 и 280?
РЕШЕНИЕ

151 Запишите все правильные дроби со знаменателем 12, у которых числитель и знаменатель взаимно простые числа.
РЕШЕНИЕ

152 Ребята получили на новогодней елке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько апельсинов и сколько яблок было в каждом подарке?
РЕШЕНИЕ

153 Для поездки за город работникам завода было выделено несколько автобусов, с одинаковым числом мест. 424 человека поехали в лес, а 477 - на озеро. Все места в автобусах были заняты, и ни одного человека не осталось без места. Сколько автобусов было выделено и сколько пассажиров было в каждом из них?
РЕШЕНИЕ

154 Вычислите устно столбиком
РЕШЕНИЕ

155 С помощью рисунка 7 определите, являются ли числа a, b и c простыми.
РЕШЕНИЕ

156 Существует ли куб, ребро которого выражается натуральным числом и у которого сумма длин всех ребер выражается простым числом; площадь поверхности выражается простым числом?
РЕШЕНИЕ

157 Разложите на простые множители числа 875; 2376; 5625; 2025; 3969; 13125.
РЕШЕНИЕ

158 Почему если одно число можно разложить на два простых множителя, а второе - на три, то эти числа не равны?
РЕШЕНИЕ

159 Можно ли найти четыре различных простых числа, чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других?
РЕШЕНИЕ

160 Сколькими способами в девятиместном микроавтобусе могут разместиться 9 пассажиров? Сколькими они способами могут разместиться, если один из них хорошо знающий маршрут сядет рядом с водителем?
РЕШЕНИЕ

161 Найдите значения выражений (3 · 8 · 5-11):(8 · 11); (2 ·2 ·3 ·5 ·7):(2 ·3 ·7); (2 · 3 · 7 ·1 ·3):(3 ·7); (3 ·5 · 11 · 17 · 23):(3 · 11 ·17).
РЕШЕНИЕ

162 Сравните 3/7 и 5/7; 11/13 и 8/13;1 2/3 и 5/3; 2 2/7 и 3 1/5.
РЕШЕНИЕ

163 С помощью транспортира постройте AOB=35° и DEF = 140°.
РЕШЕНИЕ

164 1) Луч ОМ разделил развернутый угол AOB на два: AOM и MOB. Угол АОМ в 3 раза больше MOB. Чему равны углы АОМ и ВОМ. Постройте их. 2) Луч ОК разделил развернутый угол COD на два: СОК и KOD. Угол СОК в 4 раза меньше KOD. Чему равны углы СОК и KOD? Постройте их.
РЕШЕНИЕ

165 1) Рабочие отремонтировали дорогу длиной 820 м за три дня. Во вторник они отремонтировали 2/5 этой дороги, а в среду 2/3 оставшейся части. Сколько метров дороги отремонтировали рабочие в четверг? 2) На ферме содержатся коровы, овцы и козы, всего 3400 животных. Овцы и козы вместе составляют 9/17 всех животных, а козы составляют 2/9 общего числа овец и коз. Сколько на ферме коров, овец и коз?
РЕШЕНИЕ

166 Представьте в виде обыкновенной дроби числа 0,3; 0,13; 0,2 и в виде десятичной дроби 3/8; 4 1/2; 3 7/25
РЕШЕНИЕ

167 Выполните действие, записав каждое число в виде десятичной дроби 1/2 + 2/5; 1 1/4 + 2 3/25
РЕШЕНИЕ

168 Представьте в виде суммы простых слагаемых числа 10, 36, 54, 15, 27 и 49 так, чтобы слагаемых было возможно меньше. Какие предложения о представлении чисел в виде суммы простых слагаемых вы можете высказать?
РЕШЕНИЕ

169 Найдите наибольший общий делитель чисел a и b, если a = 3·3·5·5·5·7, b = 3·5·5·11; a = 2·2·2·3·5·7, b = 3·11·13 .

Проверка ДЗ
Как идет подготовка к
зачету -02.10
и КР - 29.09.

Вопросы к зачету №1. (2 октября 2017 года)
по теме «Делимость чисел» М.6, §1.стр.5-34, мини-рефераты по стр. 33-34 по теме:
«Пифагор», «Решето Эратосфена»
Какое натуральное число называется делителем натурального числа а?
Докажите, что число 4 является делителем числа 24.
Докажите, что число 3 не является делителем числа 25.
Укажите все натуральные делители числа 12.
Какое число является делителем любого натурального числа?
Какое натуральное число называется кратным натурального числа а?
Сколько кратных имеет любое натуральное число?
Какое число является наименьшим из кратных натурального числа?
Какие числа делятся без остатка на 10, а какие не делятся без остатка на 10? Приведите примеры.
Какие числа делятся без остатка на 5, а какие не делятся на 5 без остатка? Приведите примеры.
Какие числа называют четными, а какие числа называют нечетными?
Докажите, что число 8- четное, а число 15 –нечетное.
Назовите четные цифры.
Назовите нечетные цифры.
Какой цифрой должно оканчиваться число, чтобы оно было четным (делилось без остатка на 2), а какой цифрой должно оканчиваться число, чтобы оно
было нечетным? Приведите примеры.
Какое число делится на 9, а какое число на 9 не делится?
Какое число делится на 3, а какое число на 3 не делится?
Какое натуральное число называют простым?
Какое натуральное число называют составным?
Какое число не относят ни к простым, ни к составным?
На сколько и на какие множители можно разложить любое составное число?
Назовите первые 10 простых чисел.
Запишите разложение на множители числа 210.
Всякое ли составное число можно разложить на простые множители?
Является ли следующая запись разложением на простые множители: 2·3·4·5?
Какое натуральное число называют наибольшим общим делителем натуральных чисел а и в?
Какие два числа называют взаимно простыми? Приведите примеры.
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо….
Найти НОД(16;42)
Какое натуральное число называют наименьшим общим кратным натуральных чисел а и в?
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо….
Найти НОК(6;15)
Покажите на примере, что а·в=НОД(а;в)·НОК(а;в)
Контрольная работа № 1 - 29 сентября

Примерный текст КР
Вариант 1.
Вариант 2.
1.Разложите на простые множители число 5544.
1.Разложите на простые множители число 6552.

2.Найдите наибольший общий делитель и
наименьшее общее кратное чисел 504 и 756.
наименьшее общее кратное чисел 1512 и 1008.
3. Докажите, что числа:
3.Докажите, что числа:
а) 255 и 238 не взаимно простые;
а) 266 и 285 не взаимно простые;
б) 392 и 675 взаимно простые.
б) 301 и 585 взаимно простые.
4.Выполните действия: 268,8: 0,56 + 6,44 12.
4.Выполните действия: 355,1: 0,67 + 0,83 15.
5. Может ли разность двух простых чисел быть
5.Может ли сумма двух простых чисел быть

простым числом? (Приведите пример).

Стр. 28,
№
164(1)
Проверка ДЗ

Стр.27. № 164(1).
А
АОВ 180
М
3х
х
Проверка ДЗ
В АОВ АОМ МOВ
О
х+3х=180
4х=180
х=180:4
х=45
ВОМ 45 , АОМ 3 45 135
Ответ: 135°, 45°

Проверка ДЗ
Стр. 28,
б)
№
169(б).
а=2·2·2·3·5·7, в=3·11·13
НОД(а,в)=3

10.

Стр. 28, 170(в,г)
Проверка ДЗ
в) НОД(60,80,48)=2·2=4
60
30
15
5
1
2
2
3
5
80
40
20
10
5
1
2
2
2
2
5
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
3

11.

Проверка ДЗ
Стр. 28, 170(в,г)
г) НОД(195,156,260)=
195 3
65 5
13 13
1
156
78
39
13
1
2
2
3
13
13
260
130
65
13
1
2
2
5
13

12.

Проверка ДЗ
Стр. 28, 171
НОД(861,875)=1
864
432
216
108
54
27
9
3
1
2
2
2
2
2
3
3
3
875
175
35
7
1
5
5
5
7
Числа 861и 875- взаимно простые

13.

Стр. 28,
№
Токари -
3х чел.
Слесари-
2х
174
Проверка ДЗ
чел.
-х чел.
3х+2х+х=840
6х=840
х=840:6
х=140
Фрезировщики
Фрезировщиков-140,
Слесарей-280,
Токарей -420.
Ответ: 420 чел.
Что можно было
не находить?

14. Оцените ДР: - все ответы верны и подробно записано решение «5» - все ответы верны и подробно записано решение, но допущены

вычислительные ошибки
«4»
- ответы верны, но решение либо
неполное, либо его нет совсем
«3»
-домашняя работа отсутствует- «2»

15. 25.09.2017 Классная работа Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа.

16. Цели урока:

-Обобщить знания о наибольшем
общем делителе и взаимно простых
числах.
-Развивать умение работать
самостоятельно.
-Учиться выслушивать мнение
других.
- Продолжить формировать
культуру устной и письменной
математической речи.

17.

Работа индивидуально. Остальные
устно и в тетради
Индивидуальная работа по
карточкам

18.

Устный счет
1. Может ли разложение на простые
множители числа 14652
содержать множитель
3?
Почему?
2. Назовите все нечетные числа,
удовлетворяющие неравенству
234<х<243

19.

Устный счет
3.
Назовите 3 числа, кратных:
а) 5; б) 15; в) числу
а
4. Назовите по 2 числа, взаимно
простых с числом:
а) 3,
б) 7,
в) 10,
г) 24

20.

Работа в тетради:
Найдите наибольший общий
делитель числителя и
знаменателя дробей:
20
8
30 , 24 ,
15
35 ,
НОД(20,30)=
8
24
13
26 , 9 , 60 .

21.

Работа в тетради:
Найдите наибольший общий
делитель числителя и
знаменателя дробей:
20
8
30 , 24 ,
15
35 ,
НОД(20,30)=10
НОД(8,24)=
8
24
13
26 , 9 , 60 .

22.

Работа в тетради:
Найдите наибольший общий
делитель числителя и
знаменателя дробей:
20
8
30 , 24 ,
15
35 ,
НОД(20,30)=10
НОД(8,24)=8
НОД(15,35)=
8
24
13
26 , 9 , 60 .

23.

Работа в тетради:
Найдите наибольший общий
делитель числителя и
знаменателя дробей:
20
8
30 , 24 ,
15
35 ,
НОД(20,30)=10
НОД(8,24)=8
НОД(15,35)=5
НОД(13,26)=
8
24
13
26 , 9 , 60 .

24.

Работа в тетради:
Найдите наибольший общий
делитель числителя и
знаменателя дробей:
20
8
30 , 24 ,
15
35 ,
НОД(20,30)=10
НОД(8,24)=8
НОД(15,35)=5
НОД(13,26)=13
НОД(8,9)=
8
24
13
26 , 9 , 60 .

25.

Работа в тетради:
Найдите наибольший общий
делитель числителя и
знаменателя дробей:
20
8
30 , 24 ,
15
35 ,
НОД(20,30)=10
НОД(8,24)=8
НОД(15,35)=5
НОД(13,26)=13
НОД(8,9)=1
НОД(24,60)=
8
24
13
26 , 9 , 60 .

26.

Работа в тетради:
Найдите наибольший общий
делитель числителя и
знаменателя дробей:
20
8
30 , 24 ,
15
35 ,
НОД(20,30)=10
НОД(8,24)=8
НОД(15,35)=5
НОД(13,26)=13
НОД(8,9)=1
НОД(24,60)=12
8
24
13
26 , 9 , 60 .

27.

Физкультминутка

28.

Решаем задачу
Стр. 26, №153
Прочитайте задачу.
О ком говорится в задаче?
О чём говорится в задаче?

29.

Решаем задачу
Стр. 26, №153
Можем ли мы ответить сразу на
1 вопрос:
Сколько было автобусов?

30.

Решаем задачу
Стр. 26, №153
Как найти сколько было
пассажиров в каждом автобусе?

Одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка», если надо использовать все конфеты?

Решение. Каждое из чисел 48 и 36 должно делиться на число подарков. Поэтому сначала выпишем все делители числа 48.

Получим: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Затем выпишем все делители числа 36.

Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Общими делителями чисел 48 и 36 будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Видим, что наибольшим из этих чисел является 12. Его называют наибольший общим делителем чисел 48 и 36.

Значит, можно составить 12 подарков. В каждом подарке будет 4 конфеты «Ласточка» (48:12=4) и 3 конфеты «Чебурашка» (36:12=3).

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки