Как высчитывается площадь равнобедренного треугольника. Как находить площадь треугольника (формулы)

Выясните, как найти площадь параллелограмма. Квадраты и прямоугольники являются параллелограммами, как и любая другая четырехсторонняя фигура, у которой противоположные стороны параллельны. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: S = bh , где «b» – основание (нижняя сторона параллелограмма), «h» – высота (расстояние от верхней до нижней стороны; высота всегда пересекает основание под углом 90°).

• В квадратах и прямоугольниках высота равна боковой стороне, так как боковые стороны пересекают верхнюю и нижнюю стороны под прямым углом.

1. Сравните треугольники и параллелограммы. Между этими фигурами существует простая связь. Если любой параллелограмм разрезать по диагонали, получатся два равных треугольника. Аналогично, если сложить два равных треугольника, получится параллелограмм. Поэтому площадь любого треугольника вычисляется по формуле: S = ½bh , что составляет половину площади параллелограмма.

   Найдите основание равнобедренного треугольника. Теперь вы знаете формулу для вычисления площади треугольника; осталось выяснить, что такое «основание» и «высота». Основание (обозначается как «b») – это сторона, которая не равна двум другим (равным) сторонам.

2. Опустите перпендикуляр на основание. Сделайте это из вершины треугольника, которая противоположна основанию. Помните, что перпендикуляр пересекает основание под прямым углом. Такой перпендикуляр является высотой треугольника (обозначается как «h»). Как только вы найдете значение «h», вы сможете вычислить площадь треугольника.

   • В равнобедренном треугольнике высота пересекает основание точно посередине.

3. Посмотрите на половину равнобедренного треугольника. Обратите внимание, что высота разделила равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Посмотрите на один из них и найдите его стороны:

   • Короткая сторона равна половине основания: b 2 {\displaystyle {\frac {b}{2}}} .
   • Вторая сторона – это высота «h».
   • Гипотенуза прямоугольного треугольника является боковой стороной равнобедренного треугольника; обозначим ее как «s».

4. Воспользуйтесь теоремой Пифагора . Если известны две стороны прямоугольного треугольника, его третью сторону можно вычислить по теореме Пифагора: (сторона 1) 2 + (сторона 2) 2 = (гипотенуза) 2 . В нашем примере теорема Пифагора запишется так: .

   • Скорее всего, теорема Пифагора вам известна в такой записи: a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} . Мы употребляем слова «сторона 1», «сторона 2» и «гипотенуза», чтобы предотвратить путаницу с переменными из примера.

5. Вычислите значение «h». Помните, что в формуле для вычисления площади треугольника есть переменные «b» и «h», но значение «h» неизвестно. Перепишите формулу, чтобы вычислить «h»:

   • (b 2) 2 + h 2 = s 2 {\displaystyle ({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}}
     h 2 = s 2 − (b 2) 2 {\displaystyle h^{2}=s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2}}
     .

6. В формулу подставьте известные значения и вычислите «h». Эту формулу можно применить к любому равнобедренному треугольнику, стороны которого известны. Вместо «b» подставьте значение основания, а вместо «s» – значение боковой стороны, чтобы найти значение «h».

   • В нашем примере: b = 6 см; s = 5 см.
   • Подставьте значения в формулу:
     h = (s 2 − (b 2) 2) {\displaystyle h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})}
     h = (5 2 − (6 2) 2) {\displaystyle h={\sqrt {(}}5^{2}-({\frac {6}{2}})^{2})}
     h = (25 − 3 2) {\displaystyle h={\sqrt {(}}25-3^{2})}
     h = (25 − 9) {\displaystyle h={\sqrt {(}}25-9)}
     h = (16) {\displaystyle h={\sqrt {(}}16)}
     h = 4 {\displaystyle h=4} см.

7. Подставьте значения основания и высоты в формулу для вычисления площади треугольника. Формула: S = ½bh; подставьте в нее значения «b» и «h» и вычислите площадь. В ответе не забудьте написать квадратные единицы измерения.

   • В нашем примере основание равно 6 см, а высота равна 4 см.
   • S = ½bh
     S = ½(6 см)(4 см)
     S = 12 см 2 .

8. Рассмотрим более сложный пример. В большинстве случаев вам будет дана более трудная задача, чем рассмотренная в нашем примере. Чтобы вычислить высоту, нужно извлечь квадратный корень, который, как правило, не извлекается нацело. В этом случае запишите значение высоты в виде упрощенного квадратного корня . Вот новый пример:

   • Вычислите площадь равнобедренного треугольника, стороны которого равны 8 см, 8 см, 4 см.
   • В качестве основания «b» выберите сторону, которая равна 4 см.
   • Высота: h = 8 2 − (4 2) 2 {\displaystyle h={\sqrt {8^{2}-({\frac {4}{2}})^{2}}}}
     = 64 − 4 {\displaystyle ={\sqrt {64-4}}}
     = 60 {\displaystyle ={\sqrt {60}}}
   • Упростите квадратный корень с помощью множителей: h = 60 = 4 ∗ 15 = 4 15 = 2 15 . {\displaystyle h={\sqrt {60}}={\sqrt {4*15}}={\sqrt {4}}{\sqrt {15}}=2{\sqrt {15}}.}
   • S = 1 2 b h {\displaystyle ={\frac {1}{2}}bh}
     = 1 2 (4) (2 15) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(4)(2{\sqrt {15}})}
     = 4 15 {\displaystyle =4{\sqrt {15}}}
   • Ответ можно записать с корнем или извлечь корень на калькуляторе и записать ответ в виде десятичной дроби (S ≈ 15,49 см 2).

Для того чтобы помочь своему ребенку с уроками, родители должны сами знать множество вещей. Как найти площадь равнобедренного треугольника, чем причастный оборот отличается от деепричастного, что такое ускорение свободного падения?

С любым из этих вопросов у ваших сына или дочери могут возникнуть проблемы, и они именно к вам обратятся за разъяснениями. Чтобы не упасть лицом в грязь и поддержать свой авторитет в детских глазах, стоит освежить в памяти некоторые элементы школьной программы.

Возьмем для примера вопрос о равнобедренном треугольнике. Геометрия в школе многим тяжело дается, а после школы быстрее всех забывается.

Но когда ваши дети пойдут в 8 класс, придется вспомнить формулы, касающиеся геометрических фигур. Равнобедренный треугольник — одна из самых простых фигур в плане нахождения ее параметров.

Если все, что вы когда-то учили о треугольниках, забыто, давайте вспоминать. Равнобедренным называется такой треугольник, у которого 2 стороны имеют одинаковую длину. Эти равные между собой ребра называются боковыми сторонами равнобедренного треугольника. Третья же сторона — его основание.

Существует такой вариант, при котором равны между собой все 3 стороны. Он носит название равностороннего треугольника. На него распространяются все формулы, применяемые к равнобедренному, и в случае необходимости любую из его сторон можно назвать основанием.

Для нахождения площади нам понадобится разделить основание пополам. Прямая, опущенная к полученной точке из вершины, соединяющей боковые стороны, пересечет основание под прямым углом.

Таково уж свойство подобных треугольников: медиана, то есть прямая от вершины к середине противоположной стороны, в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой (прямой, делящей угол пополам) и его высотой (перпендикуляром к противоположной стороне).

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника, надо умножить его высоту на основание, а затем поделить это произведение пополам .

Для нахождения площади треугольника формула проста: S=ah/2, где а — длина основания, h — высота.

Наглядно это можно объяснить следующим образом. Вырежьте из бумаги аналогичную фигуру, найдите середину основания, проведите к этой точке высоту и аккуратно разрежьте по этой высоте. Получатся два прямоугольных треугольника.

Если приставить их друг к другу гипотенузами (длинными сторонами), то составится прямоугольник, одна сторона которого будет равна высоте нашей фигуры, а другая — половине ее основания. То есть подтвердится формула.

Наглядная демонстрация очень важна. Если ваш ребенок научится не бездумно запоминать формулы, а понимать их смысл, геометрия уже не покажется ему сложным предметом.

Лучшим учеником в классе становится не зазубривающий, а думающий и, главное, понимающий школьник.

Как найти площадь фигуры, если один угол прямой?

Может так оказаться, что угол между боковыми сторонами заданной треугольной фигуры составляет 90°. Тогда этот треугольник будет называться прямоугольным, его боковые стороны — катетами, а основание — гипотенузой.

Площадь такой фигуры можно вычислить вышеизложенным способом (находим середину гипотенузы, проводим к ней высоту, умножаем ее на гипотенузу, делим пополам). Но можно решить проблему гораздо проще.

Начнем с наглядности. Прямоугольный равнобедренный треугольник представляет собой ровно половину квадрата, если разрезать тот по диагонали. И если площадь квадрата находится простым возведением во вторую степень его стороны, то площадь нужной нам фигуры будет вдвое меньше.

S=a 2 /2, где а — длина катета.

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна половине квадрата его боковой стороны. Проблема оказалась не такой уж серьезной, какой была на первый взгляд.

Решение геометрических задач не требует сверхчеловеческих усилий и вполне может пригодиться не только детям, но и вам при нахождении ответов на какие-либо практические вопросы.

Геометрия — точная наука. Если вникнуть в ее основы, то трудностей с ней будет немного, а логичность доказательств может очень увлечь вашего ребенка. Нужно просто немного ему помочь. Какой бы хороший учитель ему ни достался, родительская помощь лишней не будет.

А в случае с изучением геометрии очень полезным станет метод, о котором говорилось выше, — наглядности и простоты объяснения.

При этом нельзя забывать о точности формулировок, иначе можно сделать эту науку гораздо сложней, чем она есть на самом деле.

В зависимости от вида треугольника выделяют сразу несколько вариантов нахождения его площади. К примеру, для вычисления площади прямоугольного треугольника используется формула S= a * b / 2, где а и b - это его катеты. Если же требуется узнать площадь равнобедренного треугольника, то необходимо делить на два произведение его основания и высоты. То есть, S= b*h / 2, где b – это основание треугольника, а h – его высота.

Далее, может понадобиться расчет площади равнобедренного прямоугольного треугольника. Здесь приходит на помощь следующая формула: S= a* а / 2, где катеты «а» и «а» – обязательно должны быть с одинаковыми значениями.

Также, нам часто приходится вычислять площадь равностороннего треугольника. Она находится по формуле: S= a * h/ 2, где a – сторона треугольника, и h – его высота. Или по этой формуле: S= √3/ 4 *a^2, где a - сторона.

Как находить площадь прямоугольного треугольника

Вам нужно найти площадь прямоугольного треугольника, но при этом в условии задачи не указаны размеры сразу двух его катетов? Тогда этой формулой (S= a * b / 2) мы не сможем воспользоваться напрямую.

Рассмотрим несколько возможных вариантов решения:

• Если Вам неизвестна длина одного катета, но даны размеры гипотенузы и второго катета, то обращаемся к великому Пифагору и по его теореме (a^2+b^2=c^2) высчитываем длину неизвестного катета, затем используем ее для расчета площади треугольника.
• Если дана длина одного катета и градусный наклон угла противолежащего ему: находим длину второго катета по формуле - a=b*ctg(C).
• Дано: длина одного катета и градусный наклон угла прилежащего к нему: для нахождения длины второго катета применяем формулу - a=b*tg(C).
• И последнее, дано: угол и длина гипотенузы: вычисляем длину обеих его катетов, по таким формулам - b=c*sin(C) и a=c*cos(C).

Как находить площадь равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника можно очень легко и быстро найти по формуле S= b*h / 2, но, при отсутствии одного из показателей, задача значительно усложняется. Ведь необходимо выполнять дополнительные действия.

Возможные варианты задач:

• Дано: длина одной из боковых сторон и длина основания. Находим через теорему Пифагора высоту, то есть длину второго катеты. При условии, что длина основания, разделенная на два, является катетом, а изначально известная боковая сторона – гипотенузой.
• Дано: основание и угол между боковой стороной и основанием. Вычисляем по формуле h=c*ctg(B)/2 высоту (не забываем сторону «c» разделить на два).
• Дано: высота и угол, который был образован основанием и боковой стороной: применяем формулу c=h*tg(B)*2 для нахождения высоты, и полученный результат умножаем на два. Далее вычисляем площадь.
• Известна: длина боковой стороны и угол, который образовался между ним и высотой. Решение: используем формулы - c=a*sin(C)*2 и h=a*cos(C) для нахождения основания и высоты, после чего считаем площадь.

Как найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

Если все данные известны, то по стандартной формуле S= a* a / 2 вычисляем площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если же в задаче не указаны некоторые показатели, то выполняются дополнительные действия.

Например: нам не известны длины обеих сторон (мы помним, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике они равны), но дана длинна гипотенузы. Применим теорему Пифагора для нахождения одинаковых сторон «a» и «a». Формула Пифагора: a^2+b^2=c^2. В случае с равнобедренным прямоугольным треугольником она преобразовывается в такую: 2a^2 = c^2. Получается, чтобы найти катет «а», нужно длину гипотенузы поделить на корень из 2. Результат решения и будет длинной обеих катетов равнобедренного прямоугольного треугольника. Далее находим площадь.

Как найти площадь равностороннего треугольника

С помощью формулы S= √3/ 4*a^2 можно легко высчитать площадь равностороннего треугольника. Если известен радиус описанной окружности треугольника, то площадь можно найти по формуле: S= 3√3/ 4*R^2, где R - радиус окружности.