Производная числа e. «Число е. Производная показательной функции. Производная степенной функции
График показательной функции представляет собой кривую плавную линию без изломов, к которой в каждой точке, через которую она проходит, можно провести касательную. Логично предположить, что если можно провести касательную, значит функция будет дифференцируема в каждой точке своей области определения.
Отобразим в одних координатных осях несколько графиков функции y = x a , Для а = 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.
В точке с координатами (0;1). Углы наклона этих касательных будут равны приблизительно 35, 40, 48 и 51 градусов соответственно. Логично предположить, что на интервале от 2 до 3 существует число, при котором угол наклона касательной будет равен 45 градусов.
Дадим точную формулировку этого утверждения: существует такое число большее 2 и меньшее 3, обозначаемое буквой е, что показательная функция y = e x в точке 0, имеет производную равную 1. То есть: (e ∆x -1) / ∆x стремится к 1 при стремлении ∆х к нулю.
Данное число e является иррациональным и записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дробью:
e = 2,7182818284…
Так как число е положительно и отлично от нуля, то существует логарифм по основанию e. Данный логарифм называется натуральным логарифмом . Обозначается ln(x) = log e (x).
Производная показательной функции
Теорема: Функция e x дифференцируема в каждой точке своей области определения, и (e x)’ = e x .
Показательная функция a x дифференцируема в каждой точке своей области определения, и причем (a x)’ = (a x)*ln(a).
Следствием из этой теоремы является тот факт, что показательная функция непрерывна в любой точке своей области определения.
Пример: найти производную функции y = 2 x .
По формуле производной показательной функции получаем:
(2 x)’ = (2 x)*ln(2).
Ответ: (2 x)*ln(2).
Первообразная показательной функции
Для показательной функции a x заданной на множестве вещественных чисел первообразной будет являться функция (a x)/(ln(a)).
ln(a) - некоторая постоянная, тогда (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x для любого х. Мы доказали эту теорему.
Рассмотрим пример на нахождение первообразной показательной функции.
Пример: найти первообразную к функции f(x) = 5 x . Воспользуемся формулой приведенной выше и правилами нахождения первообразных. Получим: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.
Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1)
(e x )′
= e x
.
Производная показательной функции с основанием степени a
равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a
:
(2)
.
Вывод формулы производной экспоненты, e в степени x
Экспонента - это показательная функция, у которой основание степени равно числу e
,
которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.
Вывод формулы производной экспоненты
Рассмотрим экспоненту, e
в степени x
:
y = e x
.
Эта функция определена для всех .
Найдем ее производную по переменной x
.
По определению, производная является следующим пределом:
(3)
.
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
А)
Свойство экспоненты :
(4)
;
Б)
Свойство логарифма :
(5)
;
В)
Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6)
.
Здесь - некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г)
Значение второго замечательного предела :
(7)
.
Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.
Сделаем подстановку .
Тогда ;
.
В силу непрерывности экспоненты,
.
Поэтому при ,
.
В результате получаем:
.
Сделаем подстановку .
Тогда .
При ,
.
И мы имеем:
.
Применим свойство логарифма (5):
.
Тогда
.
Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
.
Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.
Вывод формулы производной показательной функции
Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a
.
Мы считаем, что и .
Тогда показательная функция
(8)
Определена для всех .
Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции и логарифма .
;
.
Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
.
Производные высших порядков от e в степени x
Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14)
.
(1)
.
Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.
Производные высших порядков показательной функции
Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a
:
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(15)
.
Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на .
Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.
Цели урока: сформировать представление о числе е ; доказать дифференцируемость функции в любой точке х ;рассмотреть доказательство теоремы о дифференцируемости функции ; проверка сформированности умений и навыков при решении примеров на их применение.
Задачи урока.
Образовательная: повторить определение производной, правила дифференцирования, производную элементарных функций, вспомнить график и свойства показательной функции, сформировать умение нахождения производной показательной функции, осуществить контроль знаний с помощью проверочного задания и теста.
Развивающая: способствовать развитию внимания, развитию логического мышления, математической интуиции, умению анализировать, применять знания в нестандартных ситуациях.
Воспитательная: воспитывать информационную культуру, выработать навыки работы в группе и индивидуально.
Методы обучения: словестный, наглядный, деятельный.
Формы обучения: коллективная, индивидуальная, групповая.
Оборудование: учебник “Алгебра и начала анализа” (под редакцией Колмогорова), все задания группы В “Закрытый сегмент” под редакцией А.Л. Семенова, И.В.Ященко, мультимедийный проектор.
Этапы урока:
- Сообщение темы, цели, задач урока (2мин.).
- Подготовка к изучению нового материала через повторение раннее изученного (15 мин.).
- Ознакомление с новым материалом (10 мин.)
- Первичное осмысление и закрепление новых знаний (15 мин.).
- Задание на дом (1 мин.).
- Подведение итогов (2 мин.).
Ход урока
1. Организационный момент.
Объявляется тема урока: “Производная показательной функции. Число е.”, цели, задачи. Слайд 1. Презентация
2. Активизация опорных знаний.
Для этого на I этапе урока ответим на вопросы и решим задачи на повторение. Слайд 2.
У доски два ученика работают по карточкам, выполняя задания типа В8 ЕГЭ.
Задание для первого ученика:
Задание для второго ученика:
Остальные учащиеся выполняют самостоятельную работу по вариантам:
Вариант 1 | Вариант 2 | ||
1. | 1. | ||
2. | 2. | ||
3. | 3. | ||
4. | 4. | ||
5. | 5. |
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг у друга, сверяясь сответами по слайду 3.
Рассматриваются решения и ответы учащихся, работающих у доски.
Проверка домашнего задания №1904. Демонстрируется слайд 4.
3. Актуализация темы урока, создание проблемной ситуации.
Учитель просит дать определение показательной функции и перечислить свойства функции у = 2 х. Графики показательных функций изображаются в виде гладких линий, к которым в каждой точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 равносильно её дифференцируемости в х 0.
Для графиков функции у = 2 x и у = 3 x проведем к ним касательные в точке с абсциссой 0. Углы наклона этих касательных к оси абсцисс приблизительно равны 35° и 48° соответственно. Слайд 5.
Вывод: если основание показательной функцииа увеличивается от 2 до, например, 10, то угол между касательной к графику функции в точки х=0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°. Логично предположить, что существует основание а , для которого соответствующий угол равен 45
Доказано, что существует такое число большее 2 и меньшее 3.. Его принято обозначать буквой е . В математике установлено, что число е – иррациональное, т.е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь.
е = 2,7182818284590…
Замечание (не очень серьезное). Слайд 6.
На следующем слайде 7 появляется портреты великих математиков – Джона Непера, Леонарда Эйлера и краткая справка о них.
- Рассмотреть свойства функции у=e x
- Доказательство теоремы 1. Слайд 8.
- Доказательство теоремы 2. Слайд 9.
4. Динамическая пауза или разрядка для глаз.
(Исходное положение - сидя, каждое упражнение повторяется 3-4 раза):
1. Откинувшись назад, сделать глубокий вдох, затем, наклонившись вперед, выдох.
2. Откинувшись на спинку стула, прикрыть веки, крепко зажмурить глаза, не открывая век.
3. Руки вдоль туловища, круговые движения плечами назад и вперёд.
5. Закрепление изученного материала.
5.1 Решение упражнений №538, №540, №544в.
5.2 Самостоятельное применение знаний, умений и навыков. Проверочная работа в форме теста. Время выполнения задания – 5 мин.
Критерии оценки:
“5” – 3 балла
“4” – 2 балла
“3” - 1 балл
6. Подведение итогов и результатов работы на уроке.
- Рефлексия.
- Выставление оценок.
- Сдача тестовых заданий.
7. Задание на дом: п. 41 (1, 2); № 539 (а, б, г); 540 (в, г), 544 (а, б).
“Закрытый сегмент” №1950, 2142.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ Число е 11 класс
ПОВТОРЕНИЕ – мать учения!
Определение показательной функции Функция, заданная формулой у = а х (где а >0, а ≠ 1), называется показательной функцией с основанием а.
Свойства показательной функции у = а х а>1 0
Определение производной функции в точке х 0 . при Δ → 0. Производной функции f в точке х 0 называется число, к которому стремится разностное отношение при Δх → 0.
Геометрический смысл производной x ₀ α A y = f(x) 0 x y к = tg α = f " (x ₀) Угловой коэффициент к касательной к графику функции f (x) в точке (х 0 ; f (x 0) равен производной функции f "(x ₀). f(x 0)
Игра: «Найди пары» (u + v)" cos x e (u · v)" n· xⁿ ⁻" п (u / v)" - 1 /(sin² x) a (x ⁿ)" - sin x н C" u" v +u v" к (C u)" 1 / (cos ² x) т (sin x)" (u" v – u v") / v² c (cos x)" 0 o (tg x)" u" + v " э (ctg x)" C u" н
Проверь себя! (u + v)" u" + v" э (u · v)" u"· v + u· v " к (u /v)" (u‘ · v –u · v") / v² с (x ⁿ)" n · x ⁿ ⁻¹ п C" 0 о (Cu)" C u " н (sin x)" Cos x е (cos x)" - sin x н (tg x)" 1 / (cos² x) т (ctg x)" - 1 / (sin² x) а
Экспонента - это степенная функция. Экспонента - функция, где e - основание натуральных логарифмов.
1 у= е х 45° Функция у= е х называется «экспонента» х ₀ =0; tg 45° = 1 В точке (0;1) угловой коэффициент к касательной к графику функции к = tg 45° = 1 - геометрический смысл производной экспоненты Экспонента у = е х
Теорема 1. Функция у = е дифференцируема в каждой точке области определения, и (е)" = е х х х Натуральным логарифмом (ln) называется логарифм по основанию е: ln x = log x е Показательная функция дифференцируема в каждой точке области определения, и (а)" = а ∙ ln a x x Теорема 2 .
Формулы дифференцирования показательной функции (e)" = e ; (e)" = k e ; (a)" = a ∙ ln a ; (a)" = k a ∙ ln a . x kx + b x x x kx + b kx + b kx + b F(a x) = + C; F(e x) = e x +C.
«Упражнения рождают мастерство.» Тацит Публий Корнелий - древнеримский историк
Примеры: Найти производные функций: 1. = 3 е. 2. (е)" = (5х)" е = 5 e . 3. (4)" = 4 ln 4. 4. (2)" = (-7 х)" 2 ∙ ln 2 = -7 ∙ 2 ∙ ln 2 . 5 х 5 х х (3 е)" 5 х -7 х х х -7 х -7 х х
Интересное рядом
Леонард Эйлер 1707 -1783 г.г. Русский ученый – математик, физик, механик, астроном… Ввел обозначение числа е. Доказал, что число е ≈ 2, 718281…-иррациональное. Джон Непер 1550 – 1617 г.г. Шотландский математик, изобретатель логарифмов. В его честь число е называют « неперовым числом».
Рост и убывание функции со скоростью экспоненты называется экспоненциальным