В чем заключается геометрический смысл производной. Тема урока "геометрический смысл производной". V. Решение заданий
Для выяснения геометрического значения производной рассмотрим график функции y = f(x). Возьмем произвольную точку М с координатами (x, y) и близкую к ней точку N (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Проведем ординаты $\overline{M_{1} M}$ и $\overline{N_{1} N}$, а из точки М -- параллельную оси ОХ прямую.
Отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x} $ является тангенсом угла $\alpha $1, образованного секущей MN с положительным направлением оси ОХ. При стремлении $\Delta $х к нулю точка N будет приближаться к M, а предельным положением секущей MN станет касательная MT к кривой в точке M. Таким образом, производная f`(x) равна тангенсу угла $\alpha $, образованного касательной к кривой в точке M (х, y) с положительным направлением к оси ОХ -- угловому коэффициенту касательной (рис.1).
Рисунок 1. График функции
Вычисляя значения по формулам (1), важно не ошибиться в знаках, т.к. приращение может быть и отрицательным.
Точка N, лежащая на кривой, может стремиться к M с любой стороны. Так, если на рисунке 1, касательной придать противоположное направление, угол $\alpha $ изменится на величину $\pi $, что существенно повлияет на тангенс угла и соответственно угловой коэффициент.
Вывод
Следует вывод, что существование производной связано с существованием касательной к кривой y = f(x), а угловой коэффициент -- tg $\alpha $ = f`(x) конечный. Поэтому касательная не должна быть параллельной оси OY, иначе $\alpha $ = $\pi $/2, а тангенс угла будет бесконечным.
В некоторых точках непрерывная кривая может не иметь касательной или иметь касательную параллельную оси OY (рис.2). Тогда в этих значениях функция не может иметь производную. Подобных точек может быть сколько угодно много на кривой функции.
Рисунок 2. Исключительные точки кривой
Рассмотрим рисунок 2. Пусть $\Delta $x стремится к нулю со стороны отрицательных или положительных значений:
\[\Delta x\to -0\begin{array}{cc} {} & {\Delta x\to +0} \end{array}\]
Если в данном случае отношения (1) имеют конечный придел, он обозначается как:
В первом случае -- производная слева, во втором -- производная справа.
Существование предела говорит о равносильности и равенстве левой и правой производной:
Если же левая и правая производные неравны, то в данной точке существуют касательные не параллельные OY (точка М1, рис.2). В точках М2, М3 отношения (1) стремятся к бесконечности.
Для точек N лежащих слева от M2, $\Delta $x $
Справа от $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, но выражение также f(x + $\Delta $x) -- f(x) $
Для точки $M_3$ слева $\Delta $x $$ 0 и f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, т.е. выражения (1) и слева, и справа положительны и стремятся к +$\infty $ как при приближении $\Delta $x к -0, так и к +0.
Случай отсутствия производной в конкретных точках прямой (x = c) представлен на рисунке 3.
Рисунок 3. Отсутствие производных
Пример 1
На рисунке 4 изображен график функции и касательной к графику в точке с абсциссой $x_0$. Найти значение производной функции в абсциссе.
Решение. Производная в точке равна отношению~приращения функции к приращению аргумента. Выберем на касательной две точки с целочисленными координатами. Пусть, например, это будут точки F (-3,2) и C (-2.4).
Цели урока:
Учащиеся должны знать:
- что называется угловым коэффициентом прямой;
- углом между прямой и осью Ох;
- в чем состоит геометрический смысл производной;
- уравнение касательной к графику функции;
- способ построения касательной к параболе;
- уметь применять теоретические знания на практике.
Задачи урока:
Образовательные: создать условия для овладения учащимися системы знаний, умений и навыков с понятиями механический и геометрический смысл производной.
Воспитательные: формировать у учащихся научное мировоззрение.
Развивающие: развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, волю, память, речь, внимание, воображение, восприятие.
Методы организации учебно-познавательной деятельности:
- наглядные;
- практические;
- по мыслительной деятельности: индуктивный;
- по усвоению материала: частично-поисковый, репродуктивный;
- по степени самостоятельности: лабораторная работа;
- стимулирующие: поощрения;
- контроля: устный фронтальный опрос.
План урока
- Устные упражнения (найти производную)
- Сообщение ученика на тему “Причины появления математического анализа”.
- Изучение нового материала
- Физ. Минутка.
- Решение заданий.
- Лабораторная работа.
- Подведение итогов урока.
- Комментирование домашнего задания.
Оборудование: мультимедийный проектор (презентация), карточки (лабораторная работа).
Ход урока
“Человек лишь там чего – то добивается, где он верит в свои силы”
Л. Фейербах
I. Организационный момент.
Организация класса в течение всего урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина.
Постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы.
Определить значимость изучаемого материала как в данной теме, так и во все курсе.
Устный счет
1. Найдите производные:
" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "
2. Логический тест.
а) Вставить пропущенное выражение.
5х 3 -6х | 15х 2 -6 | 30х |
2sinx | 2cosx … | |
cos2x | … … |
II. Сообщение ученика на тему “Причины появления математического анализа”.
Общее направление развития науки, в конечном счете, обусловлено требованиями практики человеческой деятельности. Существование древних государств со сложной иерархической системой управления было бы невозможно без достаточного развития арифметики и алгебры, ибо сбор податей, организация снабжения армии, строительство дворцов и пирамид, создание оросительных систем требовали выполнения сложных расчетов. В эпоху Возрождения расширяются связи между различными частями средневекового мира, развиваются торговля и ремесла. Начинается быстрый подъем технического уровня производства, промышленное применение получают новые источники энергии, не связанные с мускульными усилиями человека или животных. В XI-XII столетии появляются сукновальные и ткацкие станки, а в середине XV - печатный станок. В связи с потребностью в быстром развитии общественного производства в этот период изменяется сущность естественных наук, носивших со времен древности описательный характер. Целью естествознания становится углубленное изучение естественных процессов, а не предметов. Описательному естествознанию древности соответствовала математика, оперировавшая постоянными величинами. Необходимо было создать математический аппарат, который давал бы описание не результата процесса, а характера его течения и свойственных ему закономерностей. В итоге к концу XII столетия, Ньютон в Англии и Лейбниц в Германии завершили первый этап создания математического анализа. Что же такое “математический анализ”? Как можно охарактеризовать, предсказать особенности протекания любого процесса? Использовать эти особенности? Глубже проникать в сущность того или иного явления?
III. Изучение нового материала.
Пойдем по пути Ньютона и Лейбница и посмотрим, каким способом можно анализировать процесс, рассматривая его как функцию времени.
Введем несколько понятий, которые помогут нам в дальнейшем.
Графиком линей ной функции y=kx+ b является прямая, число k называют угловым коэффициентом прямой. k=tg, где – угол прямой, то есть угол между этой прямой и положительным направлением оси Ох.
Рисунок 1
Рассмотрим график функции у=f(х). Проведем секущую через любые две точки, например, секущую АМ. (Рис.2)
Угловой коэффициент секущей k=tg. В прямоугольном треугольнике АМС <МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.
Рисунок 2
Рисунок 3
Сам термин “скорость” характеризует зависимость изменения одной величины от изменения другой, и последняя необязательно должна быть временем.
Итак, тангенс угла наклона секущей tg = .
Нас интересует зависимость изменения величин в более короткий промежуток времени. Устремим приращение аргумента к нулю. Тогда правая часть формулы – производная функции в точке А (объясните почему). Если х –> 0, то точка М движется по графику к точке А, значит прямая АМ приближается к некоторой прямой АВ, которая является касательной к графику функции у = f(х) в точке А . (Рис.3)
Угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной.
Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке.
Механический смысл производной.
Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, то есть новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц назвал производной , а Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость .
IV. Физкультминутка.
V. Решение заданий.
№91(1) стр 91 – показать на доске.
Угловой коэффициент касательной к кривой f(х) = х 3 в точке х 0 – 1 есть значение производной этой функции при х = 1. f’(1) = 3х 2 ; f’(1) = 3.
№91 (3,5) – под диктовку.
№92(1) – на доске по желанию.
№ 92 (3) – самостоятельно с устной проверкой.
№92 (5) – за доской.
Ответы: 45 0 , 135 0 , 1,5 е 2 .
VI. Лабораторная работа.
Цель: отработка понятия “механический смысл производной”.
Приложения производной к механике.
Задан закон прямолинейного движения точки х = х(t), t.
- Среднюю скорость движения на указанном отрезке времени;
- Скорость и ускорение в момент времени t 04
- Моменты остановки; продолжает ли точка после момента остановки двигаться в том же направлении или начинает двигаться в противоположном направлении;
- Наибольшую скорость движения на указанном отрезке времени.
Работа выполняется по 12 вариантам, задания дифференцированы по уровню сложности (первый вариант - наименьший уровень сложности).
Перед началом работы беседа по вопросам:
- Каков физический смысл производной перемещения? (Скорость).
- Можно ли найти производную скорости? Используется ли эта величина в физике? Как она называется? (Ускорение).
- Мгновенная скорость равна нулю. Что можно сказать о движении тела в это момент? (Это момент остановки).
- Каков физический смысл следующих высказываний: производная движения равна нулю в точке t 0; при переходе через точку t 0 производная меняет знак? (Тело останавливается; меняется направление движения на противоположное).
Образец выполнения работы учащимся.
х(t)= t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.
Рисунок 4
В противоположном направлении.
Начертим схематично график скорости. Наибольшая скорость достигается в точке
t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260
Рисунок 5
VII. Подведение итогов урока
1) В чем состоит геометрический смысл
производной?
2) В чем состоит механический смысл производной?
3) Сделайте вывод о своей работе.
VIII. Комментирование домашнего задания.
Стр.90. №91(2,4,6), №92(2,4,6,), стр. 92 №112.
Используемая литература
- Учебник Алгебра и начала анализа.
Авторы: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунина.
Под редакцией А. Б. Жижченко. - Алгебра 11 класс. Поурочные планы по учебнику Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина, Ю. В. Сидорова. Часть 1.
- Интернет-ресурсы: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg
Лекция: Понятие о производной функции, геометрический смысл производной
Понятие о производной функции
Рассмотрим некоторую функцию f(x), которая будет непрерывной на всем промежутке рассмотрения. На рассматриваемом промежутке выберем точку х 0 , а также величину функции в данной точке.
Итак, давайте рассмотрим график, на котором отметим нашу точку х 0 , а также точку (х 0 + ∆х). Напомним, что ∆х – это расстояние (разница) между двумя выбранными точками.
Так же стоит понимать, что каждому х соответствует собственное значение функции у.
Разница значений функции в точке х 0 и (х 0 + ∆х) называется приращением данной функции: ∆у = f(х 0 + ∆х) - f(х 0).
Давайте обратим внимание на дополнительную информацию, которая имеется на графике – это секущая, которая названа КL, а также треугольник, который она образует с интервалами KN и LN.
Угол, под которым находится секущая, называется её углом наклона и обозначается α. Легко можно определить, что градусная мера угла LKN так же равна α.
А теперь давайте вспомним соотношения в прямоугольном треугольнике tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.
То есть тангенс угла наклона секущей равен отношению приращения функции к приращению аргумента.
В свое время, производная – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента на бесконечно малых интервалах.
Производная определяет скорость, с которой происходит изменение функции на некотором участке.
Геометрический смысл производной
Если найти производную любой функции в некоторой точке, то можно определить угол, под которым будет находится касательная к графику в данной токе, относительно оси ОХ. Обратите внимание на график – угол наклона касательно обозначается буквой φ и определяется коэффициентом k в уравнении прямой: y = kx + b.
То есть можно сделать вывод, что геометрическим смыслом производной является тангенс угла наклона касательной в некоторой точке функции.
Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x 0 , f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B (x ; f (x )). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆ x ; ВС =∆у; tgβ =∆ y /∆ x .
Так как АС || Ox , то Ð ALO = Ð BAC = β (как соответственные при параллельных). Но Ð ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая ( a ), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tg β =∆ y /∆ x , то получим
или
tg
a
=
f
"(x
0
), так как
, по определению
производной. Но tg
a
= k - угловой
коэффициент касательной, значит, k = tg
a
=
f
"(x
0
).
a
-угол наклона
касательной к положительному направлению оси Ох
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .
Физический смысл производной.
Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x (t ). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [ t 0 ; t 0 + ∆ t ] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.
V ср = ∆ x /∆ t . Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆ t → 0.
lim V ср (t ) = n (t 0 ) - мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆ t → 0.
а lim = ∆ x /∆ t = x "(t 0 ) (по определению производной).
Итак, n (t ) = x "(t ).
Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f ( x ) в точке x 0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x 0
Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.
u (t ) = x "(t ) - скорость,
a (f ) = n "(t ) - ускорение, или
a (t ) = x "(t ).
Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:
φ = φ (t ) - изменение угла от времени,
ω = φ "(t ) - угловая скорость,
ε = φ "(t ) - угловое ускорение, или ε = φ "(t ).
Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:
m = m (х) - масса,
x Î , l - длина стержня,
р = m "(х) - линейная плотность.
С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука
F = - kx , x – переменная координата, k - коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 = k / m , получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"( t ) + ω 2 x(t ) = 0,
где ω = √ k /√ m частота колебаний ( l / c ), k - жесткость пружины ( H / m ).
Уравнение вида у" + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция
у = Asin (ωt + φ 0 ) или у = Acos (ωt + φ 0 ), где
А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,
φ 0 - начальная фаза.